Aplicações Práticas na Engenharia, Física e Astronomia (1)

1) Introdução

Vivemos em um planeta cada vez mais tecnológico: carros elétricos e/ou confortáveis, obtenção de energias a partir de fontes renováveis ou não-renováveis, eletricidade em ruas e residências, aparelhos eletrônicos sofisticados, linhas-de-produção robotizada, telecomunicações, GPS, exploração espacial, viagens aéreas, etc. São tantos os exemplos que seria quase impossível enumerá-los aqui. Viajamos de avião e não sabemos que sua sustentação no ar é devido às equações de sustentação, força de arrasto, tração e força-peso. Recebemos eletricidade em nossas casas devido à transformação da energia potencial, passando pela energia cinética de rotação, em energia elétrica das usinas hidroelétricas. Médicos especializados obtêm uma imagem radiográfica devido à equação do contraste (campo da Biofísica). Muitos de nós aproveitamos os benefícios que a Ciência nos proporciona. Porém, mal sabemos que tudo isso é regido por números. Tais números são transformados em praticidade para a vida moderna.

2) Objetivo

O objetivo proposto é mostrar algumas aplicações práticas tanto na Engenharia quanto na Física; assim como na Astronomia. Estimular o interesse (também) pelas áreas supracitadas, assim como orientar nas resoluções matemáticas e conceitos físicos em problemas reais.

3) Metodologia e Referência Bibliográfica

Será apresentado, já agora neste sítio, um artigo semanal – totalizando uma série de seis -, onde será feito um breve resumo sobre o tema cujo problema real será solucionado. O livro-base será Physics For Scientists And Engineers Extended Version (Física para Cientistas e Engenheiros, Volume Único) dos Professores Paul Tipler e Gene Mosca. Para adquiri-lo, clique aqui. O custo é de US$ 140,99.

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Pulsares 

Pulsar do Caranguejo/Google Imagens

Pulsares são estrelas compostas por nêutrons, que se originam a partir de explosões de supernovas. São absurdamente densos – levando-se em consideração suas dimensões. Estima-se que possuem, em média, 15 km de diâmetro e massa 40% maior que a (massa) do Sol. Emitem mais de 100.000 vezes a energia solar. Devido às duas características iniciais, apresentam campo gravitacional cerca de 2 x 10¹¹ vezes maior que o terrestre. O mais impressionante, talvez, é a exatidão em sua periodicidade e seu movimento de rotação: um dos pulsares descobertos na Nebulosa do Caranguejo, por exemplo, tinha um período de 33,085 milésimos de segundo (ms) – existindo pulsares ainda mais rápidos (600 voltas em 1 segundo sobre seu próprio eixo). Os pulsares estão na camada-limite de densidade: caso seja ultrapassado, torna-se um buraco negro.

http://www.youtube.com/watch?v=mkfEjSgfGJ0

Foram descobertos por acaso em 1967, durante a tese de doutorado de Dame Jocelyn Bell Burnell, uma jovem estudante de doutoramento da Universidade de Cambridge. O seu objetivo era a busca de pequenas, porém rápidas variações em sinais de rádio oriundos do espaço estelar – chegando, inicialmente, os pulsos regulares destes serem confundidos com sinais de civilizações extraterrestres. Alguns pulsares, por emitirem pouca luz no espectro visível, só podem ser detectados por radiotelescópios; outros, por sua vez, somente podem ser vistos por raios-X. Além do mais, existem pulsares que parecem ser mais velhos que o próprio Universo. Para se aprofundar mais neste assunto em questão, clique aqui.

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Exercício Prático (Capítulo 3 – MOTION IN TWO AND THREE DIMENSIONS)

70) Pulsars are neutron stars that emit X rays and other radiation in such a way that we on Earth receive pulses of radiation from the pulsars at regular intervals equal to the period that they rotate. Some of these pulsars rotate with periods as short as 1 ms! The Crab Pulsar, located inside the Crab Nebula in the constellation Orion, has a period currently of length 33.085 ms. It is estimated to have an equatorial radius of 15 km, which is an average radius for a neutron star.

(a) What is the value of the centripetal acceleration of an object on the surface and at the equator of the pulsar? 

(b) Many pulsars are observed to have periods that lengthen slightly with time, a phenomenon called “spin down.” The rate of slowing of the Crab Pulsar is 3.5 × 10−13 s per second, which implies that if this rate remains constant, the Crab Pulsar will stop spinning in 9.5 × 1010 s (about 3000 years). What is the tangential acceleration of an object on the equator of this neutron star?

Resolução

Dados: R (raio equatorial) = 15 km = 15000 m

T (período) = 33,085 ms = 0,033 s

a_c (aceleração centrípeta) = ? (em m/s²)

a_t (aceleração tangencial) = ? (em m/s²)

– O exercício proposto sugere determinarmos a aceleração centrípeta de um objeto qualquer que está na superfície e no equador deste pulsar, assim como a determinação da sua aceleração tangencial no equador da mesma.

(a) Primeiramente, expressamos a equação da velocidade centrípeta deste objeto (sem determinar sua posição):

a_c = v^2 / R

A velocidade linear do objeto é:

v = ω . R (i)

Mas ω = 2π/T, onde ω é a velocidade angular. Substituindo em (i):

v = 2π . R / T

Substituindo na equação da aceleração centrípeta, temos:

 a_c = (2π . R / T)^2 / R

Eliminado os R (numerador e denominador) e efetuando a divisão:

a_c = (〖4π〗^2 R)/T^2

Substituindo os dados da questão, resulta: (fazendo π = 3,14) 

a_c = ((〖4 . 3,14〗^2 )(15000)) /〖0,033〗^2 = 543.228.650,1 m/s² ou 5,4 x 10⁸ m/s²

(b) A aceleração tangencial é dada pelo quociente entre a diferencial dv e dt:

a_t = dv / dt

A aceleração tangencial do objeto situado no equador é:

a_t = (〖∆v〗_(t,f) – 〖∆v〗_(t,i))/∆t (ii)

onde ∆v é a variação do vetor-velocidade no equador e ∆t é o tempo da taxa de redução do pulsar até parar seu movimento.

Como v_(r,f) = 0, a equação (ii) fica:

a_t = (- v_(t,i)) / ∆t

De (i) (em (a) ), temos:

v = ωR —> v_(t,i) = 2π . R / T

a_t = – ((2π R) / T) / ∆t

Resolvendo o quociente:

a_t = -2πR/(∆t.T) (iii)

Substituindo os valores dos dados em (iii) e fazendo π = 3,14:

a_t = – ((2 . 3,14)(15000)) / (〖9,5 x 10〗^10 . 〖3,3 x 10〗^(-2))

a_t = – 0,000030387 m/s² ou – 3,0 x 10^-5 m/s²

Equações matemáticas auxiliam os Astrofísicos a compreenderem, posteriormente, um pouco mais acerca das evoluções estelares e formações de buracos negros.