Aplicações Práticas na Engenharia, Física e Astronomia (2)

Dando continuidade às Aplicações Práticas na Engenharia, Física e Astronomia, neste segundo artigo será abordado acerca da Lei da Gravitação Universal de Newton e, posteriormente, resolução de um exercício proposto relativamente simples contido no livro-base Physics For Scientists And Engineers Extended Version. (Tipler e Mosca)

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Lei da Gravitação Universal  

É sabido que ao longo dos séculos o homem tentava descobrir o motivo da queda dos objetos. Desde Aristóteles, passando por Galileo Galilei, a gravitação dos corpos só foi conhecida, tal como a concebemos atualmente, com a publicação da obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (publicada em 05/07/1687). Nesta obra, composta por três volumes, Isaac Newton, com base nos estudos anteriores de Tycho Brahe, Galileo Galilei e  Johannes Kepler, elabora a Lei da Gravitação Universal, as 3 Leis de Newton (base da Mecânica Clássica) e a demonstração das Leis de Kepler para o movimento dos corpos. Antes da publicação desta obra, a comunidade científica da época não aceitava a ideia de que as leis da Física observadas na superfície terrestre podiam ser estendidas aos corpos celestes. Deduzindo as 3 Leis de Kepler, Newton postulou que existia uma força de atração para cada par de elementos, proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre estes.

– Equação da Gravitação Universal 

Sejam m₁ e m₂ as massas das partículas nas posições,

respectivamente, e seja

a posição relativa da partícula 2 à partícula 1, como mostra a figura abaixo:

onde o vetor-resultante é unitário de 1—>2. A força F vetorial,

força que a partícula 2 exerce sobre a partícula 1, é igual e oposta a…

… que obedece à 3º lei de Newton (Ação e Reação). A força gravitacional acima (1—>2) é dada pela seguinte equação:

A força gravitacional de uma partícula de massa m₁ que atua pontualmente sobre uma partícula m₂ é dada por: 

onde G é a constante da gravitação universal de Newton e as forças centrípetas das partículas 1 e 2 são dadas por:

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Exercício Prático (Capítulo 11 – GRAVITY)

31) Jupiter’s satellite Europa orbits Jupiter with a period of 3.55 d at an average orbital radius of 6.71 × 10⁸ m.

(a) Assuming that the orbit is circular, determine the mass of Jupiter from the data given.

(b) Another satellite of Jupiter, Callisto, orbits at an average radius of 18.8 × 10⁸ m with an orbital period of 16.7 d. Show that these data are consistent with an inverse square force law for gravity (Note: DO NOT use the value of G anywhere in Part (b)).

Resolução

Dados: r_EUROPA = 6,71 x 10⁸ m

G = 6,673 x 10^-11 N.m²/kg²

T_EUROPA = 3,55 dias = 306.720 s

r_CALISTO = 18,8 x 10⁸ m

T_CALISTO = 16,7 dias = 1.442.880 s

M_JUPITER = ? (em kg)

a_EUROPA/a_CALISTO = ? (relação entre as acelerações centrípetas)

– O exercício proposto pede para determinarmos a massa de Júpiter a partir do raio médio orbital, constante da gravitação universal e período orbital de um de seus satélites, Europa, assim como mostrar que estes estão de acordo com a lei do inverso do quadrado da força da gravidade a partir dos dados do satélite Calisto – sem utilizarmos o valor de G no item (b).

(a) Assumindo órbita circular (“Assuming that the orbit is circular (…)”), aplicamos a 3º Lei de Kepler (Lei dos Períodos), tendo-se:

T^2= 〖Kr〗^3

T_EUROPA^2= 〖4π〗^2/GM_JUPITER r_EUROPA^3

M_JUPITER= 〖4π〗^2/(GT_EUROPA^2 ) r_EUROPA^3

M_JUPITER= (〖4π〗^2 (〖6,71×10〗^8)^3)/(〖(6,673×10〗^(-11))( 〖306.720)〗^2 )

M_JUPITER= 〖1,89X10〗^27kg

(b) Equação da aceleração centrípeta:

a_c= v^2 / R (i)

Mas v = 2πR/T. Substituindo na equação (i):

a_c= ((2πR│T)^2) / R

a_c= (〖4π〗^2 R) / T^2

Expressando a aceleração centrípeta de Europa e Calisto, temos:

a_(c (EUROPA))/a_(c (CALISTO)) = ((〖4π〗^2 R_EUROPA)/(T_EUROPA^2 ))/((〖4π〗^2 R_CALISTO)/(T_CALISTO^2 ))

a_(c (EUROPA))/a_(c (CALISTO)) = (T_c^2 R_EUROPA)/(T_EUROPA^2 R_CALISTO )

Substituindo as acelerações centrípetas recorrendo à Lei dos Períodos de Kepler:

a_(c (EUROPA))/a_(c (CALISTO)) = (KR_CALISTO^3 R_EUROPA)/(KR_EUROPA^3 R_CALISTO )

a_EUROPA/a_CALISTO = (R_CALISTO^2)/(R_EUROPA^2 )

Ou seja, a força gravitacional varia com o quadrado da distância entre os corpos.

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Sugestão: refazer o item (a) para determinar a massa da Terra. (Dados: r_LUA = 3,82 x 10⁸ m; G = 6,673 x 10^-11 N.m²/kg²; T_LUA = 27,44 dias)