Aplicações Práticas na Engenharia, Física e Astronomia (6)

Por fim, neste 6º artigo das Aplicações Práticas na Engenharia, Física e Astronomia, conheceremos um pouco acerca dos fluidos,  escoando por algumas equações da Hidrodinâmica e, ao final deste, a resolução de um exercício proposto no livro-base Physics For Scientists And Engineers Extended Version, dos Professores Tipler e Mosca.

Espero que tenham gostado e o objetivo, cumprido.

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Hidrodinâmica

A Mecânica dos Fluidos é vista tanto no Ensino Médio (ou Secundário), de maneira superficial, quanto para àqueles que decidem ingressar num curso de Engenharia. A visibilidade desta notável área da ciência é simplesmente fenomenal: aviação, naval, automobilística (próximo artigo, não vinculado a este grupo de posts, abordará a Aerodinâmica), biológicas, etc. É uma área da ciência acessível à todos, admirada por poucos e ignorada por muitos – e, neste último, entra o desinteresse não só por esta belíssima área como muitas outras áreas científicas.

– Introdução

Hidrodinâmica é a parte da Mecânica dos Fluidos (que, por sua vez, é um ramo da Física) que aborda acerca do movimento de líquidos e gases em um determinado sistema. A etimologia da palavra hidrodinâmica é mantida por tradição, pois é sabido que estudava-se inicialmente somente o comportamento da água. O escoamento de qualquer fluido pode ser de três tipos: regime laminar (número de Reynolds < 2000), regime crítico (número de Reynolds 2000 < N_R < 3000) e regime turbulento (número de Reynolds > 3000). O número de Reynolds é adimensional, ou seja, não vem acompanhado por unidade. Para facilitar o estudo deste fenômeno, consideremos, a partir de agora, o escoamento dos fluidos em regime estacionário.

– Equação da Continuidade

Seja um tubo, de seções transversais S₁ e S₂ e áreas A₁ e A₂, onde contém um fluido operando com volume ΔV em um intervalo de tempo Δt:

As massas Δm₁ e Δm₂ do fluido são dadas, respectivamente, por:

Δm₁ = ρ₁ . A₁ . v₁ . Δt

Δm₂ = ρ₂ . A₂ . v₂ . Δt

onde ρ₁ e ρ₂ são as massas específicas do fluido nas seções 1 e 2, respectivamente. A vazão através de uma seção S é dada por:

Z = ΔV / Δt

cujo ΔV é o volume do fluido dado por A . Δs. À medida que o fluido vai se aproximando da seção transversal  S₂, a velocidade aumentará de modo que sua massa também aumenta. Portanto, a equação da continuidade I_M é dada pela diferença entre as massas nas seções transversais  S₁ e S₂ e a diferencial da taxa de variação da massa entre estas seções pelo tempo:

I_M1 – I_M2 = dm₁₂ / dt

e I_V = A . v a vazão volumétrica do sistema. 

– Equação de Bernoulli

Durante um escoamento estacionário, as partículas constituintes do fluido movem-se pelas linhas de corrente, linhas estas que não se cruzam num modelo. Adentrando numa região de pressão reduzida, devido à diminuição da área do tubo, sua velocidade aumenta devido à pressão que age “atrás” do fluido ser “maior” que a pressão que age à “frente” – em outras palavras, a pressão que empurra o fluido é maior que a pressão que se opõe ao seu movimento. Aplicando a 2º Lei de Newton à uma partícula do fluido de massa m:

F = m (dv / dt) (i)

Sendo m = ρ . A . ΔL. A força F deve-se à pressão P “atrás” da partícula e à diferença de pressão P + ΔP, à “frente” desta. Então:

F = (P . A) – (P + ΔP) A 

F = – A . ΔP

e

 ΔP / ΔL = dP / dx 

ΔP = (dP / dx) ΔL (ii)

Substituindo (ii) em (i):

– A (dP / dx) ΔL = ρ . A . ΔL (dv / dt)

– dP = ρ (dv / dt) dx (iii)

Da mecânica: v = dx / dt. Então, a eq. (iii) fica:

dP =  – ρ . v . dv (iv)

Integrando ambos os termos da eq. (iv), e aplicando para os limites inferior e superior da integral à esquerda, P₁ e P₂ , respectivamente, e v₁ e v₂ , para os limites de integração inferior e superior à direita, temos:

∫ dP = –  ∫ ρ . v dv

∫ dP = – ρ ∫ v dv (v)

Trata-se de duas integrais imediatas. Resolvendo-as:

 P [(P₂ – P₁] = – ρ . (v² / 2) [( v₂ – v₁)] 

P₂ – P₁ = (1/2) (ρ .  v₁^2) – (1/2) . (ρ .  v₂^2) (vi)

Fazendo separação de variável, a eq. (vi) fica:

 P₁ +  (1/2) . (ρ .  v₁^2) = P₂ + (1/2) . (ρ .  v₂^2) (vii)

Considerando h₁ e  h₂ as alturas inicial e final do tubo:

P₁ +  ρ . g . h₁ + (1/2) . (ρ .  v₁^2) = P₂ +  ρ . g . h₂ + (1/2) . (ρ .  v₂^2) (viii)

que é a equação de Bernoulli para um escoamento não-viscoso.

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Exercício Prático (CAPÍTULO 13 – FLUIDS)

(59) The $8-billion, 800-mile-long Alaskan Pipeline has a maximum volume flow rate of 240,000 m3 of oil per day. Most of the pipeline has a radius of 60.0 cm. Find the pressure P′ at a point where the pipe has a 30.0-cm radius. Take the pressure in the 60.0-cm-radius sections to be P = 180 kPa and the density of oil to be 800 kg/m3. Assume laminar nonviscous steady-state flow.

Resolução

Dados:

I_V = 240.000 m³/dia = 2,7 m³/s

r₁ = 60,0 cm = 0,6 m

P^’ = ? (em kPa)

r₂ = 30,0 cm = 0,3 m

P = 180 kPa

ρ = 800 kg/m³

– O exercício sugere a determinação da pressão P^’ no ponto onde o raio do tubo tem valor 30,0 cm, a partir da pressão conhecida na seção do tubo de raio 60,0 cm e massa específica de 800 kg/m³ .

Fazendo h₁ = h₂ = h, a equação de Bernoulli fica:

P + 1/2 . ρ . v₁^2 = P^’ + 1/2 . ρ . v₂^2

  P^’ = P + 1/2 . ρ (v₁^2 – v₂^2)

sendo v₁ = I_V / A₁ = I_V / π. r₁^2. Pela equação da continuidade, temos que:

A1 v1 = A2 v2 <=> v2 = (A1 / A2) v1 <=> v2 = (A1 / A2) (IV / A1) <=> IV / A2 = IV / π r22

Substituindo os termos e simplificando na equação de Bernoulli:

P’ = P + 1/2 ρ [(IV / π r12)2 – (IV / π r22)2)]
P’ = P + [(ρ IV2 / 2π2) (1 / r14 – 1 / r24)]

Substituindo os valores na equação acima e fazendo π = 3,14:

P’ = 180+[(800x(2,7)2)/2x(3,14)2)(1 / (0,6)4-1/(0,3)4)] <=> P’ = 180 kPa + (- 36.230,09 Pa)

1 Pa ——-> 0,001 kPa
36.230,09 Pa ——-> x kPa

x = 36,23 kPa

P’ = 180 kPa – 36,23 kPa = 143,77 kPa

Ou seja, no ponto do tubo onde a velocidade é maior, a pressão é menor.