Ensaio Dimensional

Neste artigo vou divagar sobre o conceito de dimensão, o qual é fundamental em Física. A exposição irá versar sobre noções que me parecem interessantes e que, por outro lado, serão importantes para servir como base ao meu próximo artigo que será sobre a Teoria das Cordas.

Para um não-físico, dimensão é sinónimo de tamanho. Para um físico é mais que isso, e é normalmente associado a uma de duas coisas distintas: dimensão espacial ou dimensão de uma grandeza (dimensionalidade). A dimensão espacial pode variar de problema para problema. Apesar de em qualquer problema físico termos sempre as 3 dimensões espaciais (ou quase sempre), a verdade é que muitas vezes se pode fazer o mesmo estudo “esquecendo” a existência de uma ou até duas dimensões espaciais. Temos, por exemplo, o estudo da difusão de tinta em papel absorvente – neste caso pode considerar-se apenas o estudo nas 2 dimensões do papel. Ou se, por outro lado, quisermos estudar a atracção entre duas partículas, basta ter em conta uma só dimensão – a recta que une as mesmas.

O conceito de dimensionalidade é completamente diferente, e até já falei um pouco dele no Método de Pi Buckingham. Possivelmente na primária, o vosso professor disse-vos: “não se soma alhos com bugalhos”, o que em linguagem mais correcta será: “não se somam grandezas com dimensões diferentes”. As dimensões de uma grandeza podem ser facilmente distinguidas pelas “unidades”. Por exemplo, não faz qualquer sentido somar 1 segundo com 1 metro – as unidades “segundo” e “metro” são diferentes. Como é evidente, qualquer lei Física obedece a este princípio.

Neste artigo pretendo debruçar-me um pouco mais sobre o primeiro conceito de dimensão.

Para nós, que vivemos num mundo de 3 dimensões espaciais e uma temporal, foi um “choque” compreender que a dimensão temporal se tratava realmente de uma dimensão. Que significa uma quarta dimensão? Como é que a poderemos “visualizar” (espacialmente)? Existem ilusões de óptica que nos permitem observar cubos de 4 dimensões, mas trata-se de uma ilusão, pelo que não creio que obtenham daí qualquer compreensão sobre o problema.

Podemos começar por pensar numa dimensão como sendo uma recta – uma dimensão será então um lugar geométrico que permite posições em apenas uma direcção. Quantas posições? Infinitas. Duas dimensões são, por norma, representadas por duas rectas perpendiculares. As posições podem agora ser representadas por pequenos quadrados neste espaço. Quantas posições temos agora? Infinitas, claro. Mas, de modo pouco correcto, pode-se afirmar que temos infinitas a multiplicar pelo outro infinito da situação anterior, ou seja: infinito^2. Passando para 3 dimensões ainda tudo é simples: basta desenhar uma recta perpendicular às duas anteriores, ou seja, uma recta perpendicular ao plano que as outras duas rectas do espaço 2D faziam. Neste caso, a noção de posição pode ser associada à localização de um dado cubo, neste espaço. O número de posições seria agora infinito^3 (o infinito pode ser substituído por um número, caso se definam limites).

Até aqui tudo bem, mas e agora 4 dimensões? Bem, do mesmo modo, e esquecendo as nossas noções “reais”, poderíamos simplesmente declarar que iríamos traçar uma recta perpendicular ao espaço 3D, tal como anteriormente se tinha feito. Isto, porém, não é algo que possamos “visualizar”, já que vivemos num mundo tridimensional. Ainda assim, é interessante pensar que se podemos representar algo tridimensional numa folha de papel, então do mesmo modo se poderá supor que é possível representar um objecto quadrimensional num outro tridimensional. Como tal, talvez possamos repensar as noções anteriores, para poder refazer a noção de 4D.

É possível pensar nesta questão de várias formas. Vou começar por expor uma bastante simples:

No caso 2D, chamando às rectas (eixos) x e y, como é usual em Matemática, quando atravessamos as posições possíveis de x, temos sempre um conjunto de posições de y que podemos ocupar, por outras palavras, por cada posição de x, temos um espaço 1D em y onde podemos “viajar”, sem nos movermos em x. No caso 3D acontece o mesmo, mas com mais uma dimensão de “liberdade”, ou seja, quando ocupamos uma posição de x, podemos ocupar uma qualquer posição y-z de um espaço 2D. No caso 4D, quando ocupamos uma dada posição de x, temos a liberdade de nos movermos num espaço tridimensional. Ou seja, a noção de 4D é apenas que por cada posição de um espaço 1D temos um espaço 3D. É como que um modo de visualização 3+1.

Assim, a noção de tempo pode ser entendida como uma dimensão pela qual vamos viajando (com velocidade variável, dependendo da velocidade espacial que tivermos – quanto maior for a velocidade espacial, menor será a velocidade temporal, de tal modo que só “parados” é que viajamos à velocidade máxima pelo tempo – ver Relatividade Restrita), enquanto temos sempre a opção de estar em qualquer posição de um espaço 3D (supondo que não estamos num buraco negro).

Existem outras formas de pensar mais “elegantes” (que surgem por vezes em livros de divulgação sobre a Teoria das Cordas): o espaço 2D pode ser entendido como um plano, se dobrarmos o plano de modo a obter um cilindro obtemos uma nova dimensão, que é a de profundidade do cilindro. E se voltarmos a dobrar o cilindro? Tem que ser sobre si próprio, caso contrário obtinha-se um toróide simples – mais uma vez não é fácil de visualizar. Aliás, até mesmo o “dobrar” do plano pode trazer-vos dúvidas, pois se o plano é infinito, como será possível “unir as pontas” para fazer um cilindro? Matematicamente dir-se-á que o cilindro tem um raio infinito, mas isso talvez não vos convença, pois poderão argumentar que se o raio é infinito, então continuamos com um plano. Espero que tenham ficado confusos e com vontade de pensar no assunto por vocês mesmos. Podem até tentar pensar noutras formas de compreender a quarta dimensão.

Para finalizar, deixo-vos a imagem de uma representação de um espaço de Calabi-Yau de 6 dimensões: