No 5º artigo de Aplicações Práticas na Engenharia, Física e Astronomia, abordaremos, resumidamente, acerca da Energia Potencial Gravitacional contendo, ao final deste, a resolução de um exercício proposto no livro-base Physics For Scientists And Engineers Extended Version, dos Professores Tipler e Mosca, e a proposição em um projeto real.
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Energia Potencial Gravitacional
Estação Espacial Internacional (ISS) – Crédito: NASA
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Em 1789, o cientista francês Antoine Laurent de Lavoisier, um dos pais das Leis Ponderais (recomendo um bom e velho livro de Química para se aprofundar neste assunto em questão), publicou uma obra intitulada Traité Elémentaire de Chimie – obra esta que lançou as bases da Química Moderna (experimental). Nesta obra, Lavoisier estabeleceu, através de observações e, principalmente, empirismo, a lei que se tornou célebre:
Na natureza, nada se perde, nada se cria; tudo se transforma
Parafraseando Lavoisier, podemos afirmar que, assim como a massa, a energia não pode ser perdida, nem destruída: apenas transformada. A recorrência à Lei de Conservação da Matéria dar-se-á pelo fato de ser laborioso estabelecer uma definição direta do que é energia. Podemos, também, associar o conceito de energia com o movimento (energia cinética) ou repouso, em função da posição (energia potencial). Sem entrar nos meandros da Relatividade Especial, por hora, podemos estabelecer o Princípio da Conservação de Energia (ou, nada mais, nada menos, que a aplicação da 1º Lei da Termodinâmica) (recomendo um bom e velho livro de Física para se aprofundar neste assunto em questão):
A energia não pode ser criada nem destruída; apenas transformada.
O “aparecimento” (*) de um tipo de energia é acompanhado do desaparecimento de outro tipo de energia, na mesma proporção.
Sabemos que existem vários tipos de energia: energia eólica, energia nuclear, energia térmica e fotovoltaica, energia elétrica e as mais conhecidas por nós na vida acadêmica: energia cinética, energia potencial (gravitacional e elástica) e energia mecânica.
A energia potencial gravitacional, objeto deste estudo, é a energia mecânica armazenada que pode ser transformada em energia cinética: energia mecânica esta capaz de realizar trabalho. A energia potencial gravitacional está relacionada com a posição do objeto no campo gravitacional terrestre, por exemplo, sendo diretamente proporcional ao peso deste e a altura em que se encontra um referencial.
Seja m (no SI: quilograma -> kg) a massa de um corpo; r, a distância deste (em metros -> m) com relação à superfície da Terra; dU a energia potencial gravitacional (em Joules -> J) e g a aceleração da gravidade (em metros por segundo ao quadrado -> m/s2). A energia mecânica total do corpo é a soma das energias cinética e potencial:
E = K + U (i)
sendo K = massa gravitacional / massa inercial.
A energia potencial gravitacional do objeto é dada por:
dU = – F x dl (ii)
onde F é a força vetorial conservativa (atrativa) aplicada no objeto e dl o deslocamento vetorial realizado por este. A distância do corpo ao centro da Terra é dada por:
r = RT + h (iii)
onde RT é o raio da Terra e h a altura do corpo. Considerando-o próximo à superfície terrestre, U = 0 e r = RT . A energia potencial fica:
mgh = mg(r – RT) (iv)
Para uma força gravitacional Fg aplicada ao corpo:
Fg = GMTm / r2 (v)
Reescrevendo a eq. (ii):
dU = – Fg x dl
dU = – (- Fg x ur) (vi)
onde ur é o vetor unitário na direção +r e dl = ur x dl (vetorial) = dl cos Φ = dr. Substituindo dl e (v) em (vi):
dU = (GMTm / r2)dr (vii)
Atribuindo, para o limite inferior e superior de integração do lado esquerdo da equação (vii), 0 e U, respectivamente e, para o limite inferior e superior de integração do lado direito, ∞ e r, respectivamente:
∫ dU = ∫ GMTm / r2 dr
U = GMTm ∫ r -2 dr
U = – GMTm / r + c1 (ix)
onde c1 é uma constante de integração. Fazendo c1 = U0 = 0:
U = – GMTm / r + U0
U(r) = – GMTm / r (x)
Ou seja, a energia potencial gravitacional tem valor máximo quando o sistema Terra-corpo estão infinitamente separados.
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(*) É ímpar ressaltar que as aspas é para relembrarmos que a energia, já subentendida nas entrelinhas, não surge como num passe de mágica.
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Exercício Prático (CAPÍTULO 11 – GRAVITY)
(49) While trying to work out its budget for the next fiscal year, NASA wants to report to the nation a rough estimate of the cost (per kilogram) of launching a modern satellite into near-Earth orbit. You are chosen for this task, because you know physics and accounting.
(a) Determine the energy, in kW⋅h, necessary to place 1.0-kg object in low-Earth orbit. In low-Earth orbit, the height of the object above the surface of Earth is much smaller than Earth’s radius. Take the orbital height to be 300 km.
(b) If this energy can be obtained at a typical electrical energy rate of $0.15/kW⋅h, what is the minimum cost of launching a 400-kg satellite into low-Earth orbit? Neglect any effects due to air resistance.
Resolução
Dados:
mcorpo = 1,0 kg
r = 300 km = 300.000 m = 3 x 105 m
taxa = $ 0,15 / kW.h
msatelite = 400 kg
E = ? (em kW.h)
custo mínimo = ? (em dólares)
– O exercício proposto diz que a NASA quer determinar no item (a), para seu orçamento no próximo ano fiscal, a energia (em kW.h) necessária para colocar um corpo de 1,0 kg em órbita baixa; e, no item (b), levando-se em consideração a energia calculada no item anterior, obtida a uma taxa de $ 0,15 / kW.h, a estimativa do custo mínimo para lançar um satélite de 400 kg também em órbita baixa – considerando desprezível a resistência do ar.
(a) A energia mecânica total de um satélite em órbita baixa é dada pela sua conservação:
E = K + U
E = 1/2 U (a)
Mas U = – GMTm / r. Substituindo em (a):
E = – GMTmcorpo / 2r
Fazendo G = 6,67×10-11 N.m2 / kg2; MT = 5,98×1024 kg; r = RT = 6378,1 km = 6,37×106 m:
E = – 6,67×10-11 x 5,98×1024 x 1,0 / 2(6,37×106)
E = 31.308.163,27 J ou 3,13 x 107 J
Convertendo joules em quilowatt-hora:
1 kW.h ——- 3,6x106J
x kW.h ——- 3,13x107 J
x = 8,7 kW.h
E = 8,7 kW.h
(b) O custo mínimo é dado, semanticamente, por:
Cm = (taxa / kW.h) x (energia requerida no item (a) / kg) x (massa do satélite que deseja lançar)
Cm = (0,15 / kW.h) x (8,7 kW.h / kg) x (400 kg)
Cm = 522,00 = US$ 522,00
Ou seja, tomando-se como base de cálculo a energia necessária para levar à órbita baixa um corpo de 1,0 kg, custará US$ 522,00 para lançar um satélite de 400 kg.
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Refaça o item (b) para estimar o custo de lançamento da Estação Espacial Internacional (ISS): r = 347 km; mISS = 303 t; taxa = R$ 0,25 kW.h ou € 0,075 kW.h
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