Na Geometria Métrica Plana, estudamos – além do Sistema Cartesiano Ortogonal, Teorema de Tales, Polígonos Semelhantes, e, dentre outros – Relações Métricas no Triângulo Retângulo.
Na Idade Antiga, a civilização babilônica (XVIII a.C – VI a.C) baseava-se nos triângulos retângulos para estudarem a Astronomia. Porém, os povos antigos desconheciam as relações que existiam entre os lados de um triângulo retângulo.
Foi com Pitágoras de Samos, matemático grego, que este problema foi equacionado, dando origem ao que conhecemos na Álgebra como o Teorema de Pitágoras:
A área do quadrado construído sobre o maior lado é igual a soma das áreas dos quadrados construídos sobre os outros dois lados
Em outras palavras, o quadrado da hipotenusa (maior lado) é igual à soma da medida do quadrado dos catetos. Esquematicamente:
Na figura acima, temos o quadrado ABCD circunscrito em HEFG, formando quatro triângulos retângulos semelhantes (cada um dos triângulos retângulos possui, pelo menos, um ângulo interno de 90º), cujo lado mede (b+a). Semanticamente, temos que:
Área do quadrado (ABCD) = Área do quadrado (HEFG) + 4*(Área do triângulo retângulo)
Resolvendo:
(b+a)2 = c2 + 4*[((b*a)/2)] (eq. 1)
Mas (b+a)2 = b2 + 2ba +a2 (produto notável). Substituindo na equação 1:
b2 + 2*b*a + a2 = c2 + 4*[((b*a)/2)] (eq. 2)
Simplificando 4*[((b*a/2)] e resolvendo a equação 2 para a incógnita c:
b2 + 2*b*a + a2 = c2 + 2b*a —>
b2 + 2*b*a – 2*b*a + a2 = c2 (eq. 3)
Da Álgebra Elementar: + ab – ab = 0. Então, a equação 3 fica:
b2 + a2 = c2 (eq. 4)
Que denota, exatamente, o Teorema de Pitágoras.
Uma aplicação bastante curiosa e contra-intuitiva deste é ilustrada no desafio abaixo.
Atenção na resolução. 😉
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Considere uma corda inelástica C cujos extremos estão duas cidades A e B, que distam 900 km entre si em linha reta. Considere outra corda D, inelástica, com apenas 2 metros a mais que a corda C. Fixe as extremidades da corda D nos pontos A e B, levando até seu ponto médio, como ilustra o esquema abaixo:
a) Intuitivamente, sem necessidade de cálculo, a altura h do triângulo retângulo será menor ou maior que 2 metros?
b) Aplicando o Teorema de Pitágoras, determine a altura real h em metros. (arredonde para dois algarismos significativos)
10 comentários
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atenção… o 0,0021 é o valor em radianos!! E não em graus! E em graus fica 0,12º dado que 360º correspondem 2*pi radianos.
Author
Estou mesmo a ficar “enferrujado”.
Tens completa razão, Jorge. Os valores para o seno e cosseno, são medidos em radianos. A tangente, que não é este caso, não está definida para todos os números reais.
Author
Rapidamente, Jorge:
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Valor anteriormente encontrado do sen (alfa) = 0.002 rad
1 rad ——- 57.29º
0.002 rad ——- x (º)
x = 0.11458º
Arredondando para três casas decimais: x = 0.115º
Author
Senhores, agradeço a interação de todos.
É um problema algébrico relativamente simples, recorrendo-se à atenção apenas na conversão de km para m.
Resolvi pelo caminho abaixo. Obviamente, pode-se resolver por outros métodos algébricos.
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– Trata-se dum triângulo retângulo. Aplicando o Teorema de Pitágoras no caso acima:
h^2 = [(x + 2)/2]^2 – (x/2)^2 (eq. 1)
– Temos um produto notável num dos monômios (caso particular: quadrado da soma entre dois termos). A (eq. 1) fica:
h^2 = [((x^2 + 4*x + 4)/4) – (x^2/4))] (eq. 2)
– Como os denominadores possuem o mesmo valor, aplicamos a propriedade da fração: (a/b)+(c/b) = (a+c)/b
– Resolvendo a (eq. 2), temos que:
h^2 = (x^2 – x^2 + 4*x + 4)/4 (eq.3)
– Anulando-se + x^2 – x^2, temos na (eq. 3):
h^2 = (4*x + 4) (eq. 4)
– Sendo x a medida do lado do triângulo. Na proposição, x é dado em km e a resolução é solicitada em m. Convertendo km para m:
1 km ———- 1000 m
900 km ———- x (m)
1*x = 900*1000 m
x = 900.000 m ou 900.000,00 m = 9×10^5 m (caso não tenha calculadora científica em mãos)
– Substituindo o valor de x na (eq. 4):
h^2 = (4*900.000 + 4)/4
h^2 = (3.600.000+4)/4
h^2 = 3.600.004/4
h^2 = 900.001
– O inverso do quadrado é sua raiz quadrada. Passando o quadrado para o lado direito da igualdade (pois h ≠ h^2):
h = root((900.001), 2)
h = 948,6838 = 948,68 m
altura (h) = 948,68 m
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Ou seja, apenas com 2 m a mais de corda cabe, no ponto médio, uma estrutura 2,92 vezes maior que a Torre Eiffel (França).
Como o sr. Castanheira bem percebeu, trata-se, também, de um triângulo isósceles (pelo menos dois lados de mesmo valor e dois ângulos internos iguais ou congruentes) extremamente longo e achatado, com um ângulo da corda D em relação ao solo de valor bastante pequeno.
É a Matemática mostrando-nos que só a intuição não basta – e, por vezes, ela é errônea. É necessário recorrermos às fórmulas, métodos de resolução e resolução dos problemas para se chegar à concretitude.
h=948.68 m !?!
h= 948.68 metros ?
Pois!…
São 948.68m (arredondando)
Confesso que fiz o mesmo erro do Rui Costa, o que é intuitivo é entrar nos cálculos com 900m e não 900000m…
De ínicio, e por este motivo, claro que respondi que h deveria ser bem menor que 2m… esquecendo-me que a figura condiciona o raciocínio, pois estamos a lidar na realidade com um triângulo isósceles, sim, mas extremamente longo e achatado, pelos meus cálculos o ângulo em A (ou em B) deve ter menos de 0.018º!…
De facto, é fácil esquecermo-nos de que 948m (apesar de ser muito) não deixa de ser apenas cerca de um milésimo de 900Kms!…
Bom problema!
Author
O ângulo que a corda D faz com o solo é, neste caso, 0.002º.
h = 30,01 metros?
Author
Tente novamente.