Equações-Desafio 3 – Energia Cinética Relativística

A Matemática é o mais maravilhoso instrumento criado pelo gênio do homem para a descoberta da verdade”

Charles-Ange Laisant (engenheiro e político francês)

 

time_is_gone_small

_________________________________________________________________________

Nova Imagem

 

 

Sabem o que é isto?

Vão dando palpites nos comentários…

Eu darei a resposta na próxima quarta-feira (05/06/13)

(os comentários vão sendo temporariamente embargados para não influenciarem outros leitores)

Como se chama isto? O que é esta equação?

_________________________________________________________________________

 

Na Relatividade Restrita, a equação acima é denominada energia cinética relativística, sendo o trabalho realizado por uma força resultante para que uma determinada partícula seja acelerada, a partir do repouso, até a velocidade v. O termo contido no argumento dependerá da velocidade desta (partícula). O segundo termo, por sua vez, independe da velocidade, ou seja, é a sua energia em repouso. Da Mecânica Newtoniana, temos que (considerando o movimento unidirecional):

 

K = ∫ (limite inferior = 0; limite superior = v) F_resultante . dS

 

onde: K = relativistic kinetic energy (em joules);

F_resultante = força resultante sobre a partícula (dp/dt ou m.a, já que dp = m.dv) (em kg.m/s);

dS = vetor-deslocamento da partícula.

O trabalho realizado pela força aumenta a energia a partir da energia de repouso até a energia final. Para velocidades muito pequenas (v <<<<< c), a expressão contida na energia relativística iguala-se à expressão da energia cinética da Mecânica Newtoniana. Porém, caso a velocidade tender à da luz (v ——-> c), então K ———-> ∞.

Podemos também expandir o termo relativístico {[(sqrt (1 – (v^2 / c^2) , 2)]} através do Binômio de Newton. Uma demonstração desta pode-se ver aqui.


 

23 comentários

Passar directamente para o formulário dos comentários,

    • Rui Pereira Alves on 27/11/2017 at 01:00
    • Responder

    V=272 865 016 m/s

    • Dorival Andrade on 22/06/2013 at 12:12
    • Responder

    K representa a Energia potencial relativística de um corpo.

  1. À todos(as) as senhoras e senhores, parabéns.

    🙂

  2. Os meus conhecimentos de física são um pouco limitados no entanto, esta formula é muito parecida com a formula completa da velocidade da luz de Einstein.
    Será que K é a temperatura em Kelvin?
    Parece que vou ter que esperar para saber 🙂

    1. 🙂

      Não há temperatura na equação, apesar da temperatura no Sistema Internacional de Unidades ser em kelvin (K). 😉

      Abraços.

        • Paulo on 15/06/2013 at 01:07

        Por acaso até pode ser que a massa a deslocar-se a esse nivel de velocidade no “vazio”, tenda a libertar radiação térmica e não só, devido à resistencia oferecida pelo espaço-tempo à sua deslocação. O termo (1/SQR (1-(V2/C2)) -1) até podia ser “visto” como um “incremento” de energia necessário, para a “dita massa M0” poder viajar a V, o que se traduz por um “aumento de massa” na equação em vez de um fator resistivo oferecido pelo tecido do espaço-tempo à deslocação de uma massa.

        Estou só a divagar, como é obvio!

      1. O Paulo, na verdade, não está querendo referir-se à radiação eletromagnética?

        😉

        • Paulo on 16/06/2013 at 15:35

        Sim, a “radiação térmica” está na banda do infra-vermelho longo. Outros sub-produtos poderão revelar-se com outros comprimentos de onda, dependendo da composição da massa em deslocamento e do que mais aparecer pelo caminho.
        Como disse acima: Estou só a divagar!

  3. Deve ser a equação do mc² donalds

  4. Não sei ao certo o que é (e não me apetece procurar), mas o “sqrt(1-(v2/c2))” faz-me pensar que tem que ver com a relatividade,

    • Jonas de Araújo on 05/06/2013 at 04:43
    • Responder

    Tem a ver com a velocidade da luz, óbvio. Mas parece ser o cálculo para alguma constante característica de ondas eletromagneticas (ou não, só éum palpite) e comparando a velocidade delas com a da luz. Agora o que é e para que serve realmente e pq raios o número um é o único levado em conta é um mistério..

    1. Agora o que é e para que serve realmente e pq raios o número um é o único levado em conta é um mistério..

      _______________________________________________________

      Meu jovem,

      O número 1 surge espontaneamente no desenvolvimento diferencial para se chegar à equação da energia cinética relativística, como tenho o grato prazer em demonstrar-lhe:

      Sabemos que F_resultante é a relação entre a diferencial da quantidade de movimento da partícula pelo tempo:

      F_resultante = dp/dt (eq. 1)

      Multiplicando ambos os membros da (eq. 1) por dS (deslocamento):

      F_resultante.dS = (dp/dt).dS (eq. 2)

      Ora, F_resultante.dS é o trabalho realizado pela partícula e (dp/dt).dS é a variação de sua energia cinética (dK). Da Mecânica Clássica:

      dS = v.dt

      Então, a eq. (2) fica

      dK = (dp/dv) v.dt =>
      => dK = v.dp (eq. 3)

      Lembrando-se que estamos considerando movimento unidirecional e integrando ambos os termos da eq. (3):

      ∫ (limite inferior = 0; limite superior = K) dK = ∫ (limite inferior = 0; limite superior = p_1) v.dp
      K = ∫ (limite inferior = 0; limite superior = p_1) v.dp

      A diferencial não está em termos da velocidade, onde será necessário fazermos mudança de variável.
      Sabendo-se que a quantidade de movimento p relativística é mv/sqrt (1-(v^2/c^2), 2) e aplicando a regra do quociente, temos que:

      dp = d(v/sqrt (1-(v^2/c^2), 2) = [(1-(v^2/c^2)^1/2 dv – v.1/2.(1-v^2/c^2)^-1/2.(-2vdv/c^2)) / 1-(v^2/c^2)] =>

      => dv/1-(v^2/c^2)^3/2

      dp = dv/1-(v^2/c^2)^3/2 (eq. 4)

      Sabendo-se que a massa da partícula é a relação entre sua massa no referencial de repouso e substituindo a eq. (4) na eq. (3):

      K = ∫ (limite inferior = 0; limite superior = p_1) v.dp =>

      => m ∫ (limite inferior = 0; limite superior = v_1) v.dv/1-(v^2/c^2)^3/2 =>

      => (1/sqrt((1-v^2/c^2), 2) -1).mc^2

  5. Se não estou enganado é a fórmula da Energia cinética na teoria da Relatividade.

    • Diego Saraiva on 05/06/2013 at 01:51
    • Responder

    A equação ‘real’ da relação energia/matéria, de acordo com sua velocidade instantanea. K=energia (em que termos, não sei exatamente). C=vel. da luz. m=massa.
    O termo antes de mc² raramente é representado pois se a velocidade instantanea tender à velocidade da luz, o termo como um todo tende a… ZERO?! A equação tá certa, ou sou muito novato? (mais fácil ser o segundo…)

    1. “… pois se a velocidade instantanea tender à velocidade da luz, o termo como um todo tende a… ZERO?!

      __________________________________________________

      Caso tenda à 0, cai numa indeterminação matemática, onde a massa da partícula tende ao infinito. Na verdade, trata-se duma inequação algébrica, sendo o termo contido na raiz quadrada maior ou igual a 0. Já discorremos sobre essa questão aqui: 😉

      http://www.astropt.org/2012/12/26/por-que-a-materia-comum-nao-pode-viajar-mais-rapido-que-a-luz/

      Abraços.

  6. A equação do Dogma.

  7. Energia cinética segundo a teoria da relatividade de Einstein, ou seja, energia cinética a “alta velocidade”.

    • João Lemos Almeida on 03/06/2013 at 00:16
    • Responder

    Equação da energia cinética de partículas (Ek). Derivação de Einstein.

  8. na equação entre parenteses se chama Fator de Lorentz , A questão de como uma pessoa veria um objeto extenso com velocidade relativista , usada para velocidades muitos menores que a velocidade da luz V << C , M = massa em repouso Mº , c = velocidade da luz no vácuo , v = velocidade , K = energia cinética relativista , então deduz que essa equação seria a Razão entre a energia cinética e a energia de repouso .

  9. “K” stands for “kinetic”.

  10. Não tenho a certeza mas esta equação parece ser uma forma nao simplificada da famosa equação de Einstein

  11. Essa é a equação relatividade de Albert que relaciona a massa, a velocidade e a energia de um corpo.

    • Manel Rosa Martins on 02/06/2013 at 12:58
    • Responder

    Derivação de Einstein para a energia cinética das partículas, publicada pela primeira vez no seu trabalho de 1905 sobre a relatividade específica no paper da electrodinâmica dos corpos em movimento.

    Ainda deixava a questão dos corpos em repouso, mas Einstein não tardou muito em resolvê-la com o princípio da equivalência. 🙂

Deixe um comentário

O seu endereço de email não será publicado.

Este site utiliza o Akismet para reduzir spam. Fica a saber como são processados os dados dos comentários.