Medições Astronómicas

O Homem sempre teve curiosidade em saber quanto mede um objecto qualquer, muitas vezes sem haver uma razão para tal interesse. Medir um objecto é algo relativamente fácil se esse objecto não for nem muito grande, nem muito pequeno. Neste artigo vou-me focar nas medições do muito grande. É claro que não se trata de medições directas, mas sim indirectas, ou seja, obtidas através de cálculos (os quais usam medidas directas de outras variáveis).

Como medir o raio da Terra?

Curiosamente a primeira medição foi feita muito antes de toda a humanidade estar convencida que de facto a Terra era redonda. Foi Eratóstenes, matemático e astrónomo grego, que viveu entre 285 a.C. e 194 a.C., quem primeiro conseguiu medir o raio da Terra, com uma precisão notável (pois as aproximações em causa eram boas).

A Figura 1 ilustra a ideia:

Figura 1: Em Siena, ao meio dia, os “raios” de luz chegam perpendiculares à Terra, enquanto que ao mesmo tempo, em Alexandria, os raios chegam com uma certa inclinação, devido à curvatura da Terra.

Erastóstenes supõe (e bem) que o Sol está muito distante da Terra e como tal os “raios” de luz chegam à Terra praticamente paralelos, sendo assim pôde fazer um cálculo muito simples, tendo em conta que sabia quantos quilómetros separavam Siena de Alexandria: cerca de 800km. O ângulo que os “raios” de luz faziam em Alexandria com a perpendicular já era fácil de medir na altura de Erastóstenes: o ângulo medido foi de 7º. Como o círculo tem 360º, surge então uma “regra de três simples” evidente para determinar o perímetro da Terra: se 7 está para 800, então 360 está para 360×800/7, ou seja, cerca de 41 mil quilómetros. Como o perímetro é 2pi R, então o raio é igual a cerca de 6 mil e 500 quilómetros (o valor correcto é 6378 km).

Como medir a distância da Terra à Lua?

Outro astrónomo e matemático grego, desta vez Hiparco (190-120 a.C.), foi o primeiro a determinar esta distância (é também o criador do primeiro astrolábio, descobriu a precessão dos equinócios, etc.).

O problema foi resolvido do seguinte modo:

Figura 2: Os astros não estão à escala, nem as distâncias entre eles, claro. As letras ‘a’, ‘b’, ‘c’ e ‘d’ são ângulos, R o raio da Terra e X a distância da Terra à Lua.

O ângulo ‘d’ determina-se pelo tempo que demora um eclipse lunar. Se a Lua demora cerca de 28 dias a dar uma volta completa à Terra (360º), e demorar cerca de 100 minutos no eclipse lunar, isso corresponde a duas vezes o ângulo ‘d’, e como tal temos mais uma regra de três simples: 2d=360×100/(28 dias x 24h x 60 minutos) = 1º, portanto d=0. 5º, aproximadamente. Não sei se será evidente para o leitor, mas é fácil de deduzir que os ângulos presentes têm a seguinte relação: a+b=c+d. Se for evidente, poderá passar já para o próximo parágrafo, pois vou explicar como obter essa equação: a soma interna dos ângulos de um triângulo é 180º. Considerem que em vez de dois triângulos, temos apenas um triângulo (obtuso) composto pela junção daqueles dois e chame-se ‘f’ ao ângulo obtuso. Logo, como ‘c’ e ‘d’ são medidos sobre a horizontal, tem-se que c+d+f=180 (ângulo raso). Por outro lado, a soma dos ângulos internos do triângulo obtuso dá-nos a+b+f=180. Ambas as expressões dão 180, logo c+d+f=a+b+f, corta-se o ‘f’ e fica-se com a equação que se queria obter: a+b=c+d.

O ângulo ‘a’ obtém-se da observação do raio da Terra a partir do Sol – como o Sol está muito distante, ‘a’ é muito menor que todos os outros ângulos presentes, pelo que a expressão fica aproximadamente: b=c+d. ‘c’ é o chamado semi-diâmetro angular solar, pois é metade do diâmetro que vemos do Sol, a partir da Terra, em medida angular, que pode ser medido indirectamente observando o Sol. O resultado da altura foi de cerca de 0,25º. Sendo assim, b=0,5+0,25=0,75º. O seno de b é igual ao raio da Terra a dividir pela distância da Terra à Lua, logo a distância da Terra à Lua: X=R/sen(b), pelo que chega-se à relação aproximada de que a distância da Terra à Lua deverá ser de cerca de 76 vezes o raio da Terra. Hiparco, tendo sido mais cuidadoso que eu aqui e levando em consideração o erro associado às suas medidas, estimou que essa distância era de 62 a 74 vezes o raio da Terra. O valor real é entre 57 a 64 vezes (visto que a distância varia). Actualmente a distância pode ser estimada usando os espelhos que os americanos deixaram na Lua: aponta-se um LASER a esses espelhos e espera-se que a luz do LASER regresse. Como a luz do LASER viaja a uma velocidade conhecida (velocidade da luz, claro), obtém-se a distância multiplicando a velocidade pelo tempo (e dividindo por dois, porque o tempo medido é o tempo da luz ir e voltar, ou seja, o dobro da distância). A Lua situa-se a cerca de 384 mil quilómetros da Terra (em média, pois a órbita não é circular, mas sim elíptica).

Como medir a distância da Terra ao Sol?

Sem surpresa, outro astrónomo grego deu a resposta a esta questão pela primeira vez: o primeiro defensor do Heliocentrismo, Aristarco de Samos (310 a.C. – 230 a.C.).

Eis o desenho:

Figura 3: Quando a Lua está em Quarto Crescente ou Minguante, o sistema Terra-Sol-Lua forma um triângulo rectângulo.

Ele mediu o ângulo em que o vértice é a Terra directamente e usou um valor conhecido da distância da Terra à Lua (o que indica que Hiparco não terá sido o primeiro a fazer a estimativa antes indicada – se a biblioteca de Alexandria não tivesse ardido, talvez soubéssemos hoje quem teria sido o primeiro a fazer tal façanha (e como, não necessariamente pelo mesmo método que Hiparco usou)), para estimar a distância da Terra ao Sol.

Os cálculos são triviais: o co-seno do ângulo medido é igual ao cateto adjacente (distância Terra-Lua) sobre a hipotenusa (distância Terra-Sol) – é só substituir os dois valores conhecidos e resolver em ordem à hipotenusa.

A estimativa de Aristarco de Samos não foi muito rigorosa: deduziu que a distância do Sol à Terra era de cerca de 20 vezes a distância da Terra à Lua, quando na verdade é de aproximadamente 400 vezes. Apesar do raciocínio de Aristarco ter sido correcto, as medidas usadas não o eram (as tabelas de valores para o co-seno ainda não eram muito precisas e a propagação de erros nos cálculos era mal analisada). O valor correcto da distância da Terra ao Sol é aproximadamente de 150 milhões de quilómetros (1 UA, ou seja, define uma unidade astronómica). Tal como no caso da Lua, também a órbita da Terra em torno do Sol não é circular, pelo que esta distância varia um pouco.

A título de curiosidade acrescento ainda que este astrónomo calculou várias outras distâncias astronómicas, tendo tido particular sucesso na determinação do diâmetro da Lua (obteve que este é três vezes menor que o diâmetro da Terra, quando na verdade é 3,7 vezes). Para isto baseou-se na sombra projectada da Terra na Lua, num eclipse lunar (desafio-vos a fazer o desenho geométrico que ilustra a ideia e que lhe permitiu chegar à estimativa, bem como determinar a equação).

Como medir a distância da Terra a uma estrela?

O primeiro método usado para fazer estas estimativas é chamado de paralaxe, ou triangulação (também chegou a ser usado para medir a distância da Terra aos planetas e luas do sistema solar, mas actualmente há outros métodos, como o uso de radar).

Observe-se o esquema:

Figura 4: Duas medições são feitas da posição angular de uma dada estrela – uma agora, outra daqui a 6 meses.

Como a Terra se movimenta em torno do Sol, a posição aparente das estrelas vai alterando-se ao longo do ano no céu. Assim, para se fazer um triângulo, faz-se uma medição angular de uma estrela numa dada altura e outra daí a seis meses. Desta forma, a distância da Terra ao Sol é usada como referência.

Com medições cuidadas da posição das estrelas no céu é fácil de estimar o ângulo em causa e depois é apenas usar a trigonometria simples já antes aplicada para os outros casos (não mostro para este caso, para não me tornar demasiado repetitivo).

A estrela mais próxima é a Proxima Centauri (a terceira mais brilhante do céu) que se situa a uma distância de aproximadamente 4,3 anos-luz (ou seja, a distância que a luz demora a percorrer nesse tempo: 4,3×365 dias x24h x60 minutos x60 segundos x300 000 km/s, que é cerca de 40 000 000 milhões de quilómetros).

O primeiro cientista a usar este método foi Friedrich Wilhelm Bessel, em 1838, para medir a distância a que a estrela binária 61 Cygni está da Terra.

Figura 5: “Olhar para a vastidão do universo faz-me compreender o quão insignificante tu és.”