Movimento Browniano

Em 1827, Robert Brown colocou grãos de pólen em água (a flutuar) e observou ao microscópio. Para sua surpresa verificou que os grãos de pólen realizavam um movimento irregular e pareciam nunca parar quietos. De onde viria aquele movimento? Brown supôs que as partículas de pólen estavam “vivas”! Este curioso movimento ficou conhecido como “movimento browniano”.

Na verdade, o movimento em causa já tinha sido observado antes, em 1765, por Jan Ingenhousz, com poeira de carvão a flutuar em álcool.

Existiram algumas tentativas frustradas para explicar o fenómeno (Thiele em 1880 e Bachelier em 1900, usando diferentes métodos matemáticos para tentar compreender a origem do movimento).

Só em 1905, o suspeito do costume apresentou a solução correcta. Albert Einstein (no seu artigo mais citado*, pois o movimento browniano, como irão compreender no decorrer deste texto, tem uma vasta aplicabilidade a imensos problemas) conseguiu compreender a origem deste misterioso movimento, bem como foi capaz de o descrever matematicamente (em comparação com a matemática da Relatividade Geral, esta foi realmente muito simples de tratar). Independentemente, Marian Smoluchowski, no ano seguinte, também chegou à solução.

*Os cientistas escrevem artigos para divulgar o seu trabalho. Em qualquer artigo científico encontram-se referências/”citações” a outros artigos que servem de base para o artigo em causa. De certo modo, quanto maior for o número de citações de um artigo, maior foi o seu impacto no mundo científico, pois houve muitos trabalhos posteriores a usarem os resultados presentes naquele artigo. Por outras palavras, o número de citações de um artigo mede a importância científica do artigo (é claro que há excepções à “regra”).

À esquerda Robert Brown, à direita Albert Einstein. Alegadamente, Einstein não conhecia o trabalho de Brown quando resolveu o problema “deste”.

Einstein (tal como Smoluchowski, mais tarde) partiu do pressuposto que a teoria atómica estava certa, isto é, existiam de facto átomos (e moléculas). Notar que nesta altura ainda não existiam provas definitivas que apontassem nesse sentido. Mesmo sem confirmação experimental, já existia a Teoria Cinética (tema para um futuro artigo), que entre outras coisas, afirmava que as moléculas que constituem um líquido têm um certo grau de liberdade, isto é, podem-se mover com alguma facilidade (em comparação, num sólido as partículas têm um movimento muito mais restrito, enquanto que num gás existe maior liberdade de movimento que no líquido, o que explica que, de modo grosseiro, em geral a “viscosidade” de um líquido seja superior que a de um gás e inferior que a de um sólido). Sendo assim, em qualquer líquido têm-se moléculas a mover aleatoriamente* (basta que a temperatura seja maior que zero Kelvin (-273ºC, o mínimo de temperatura possível no universo), o que por outras palavras significa que qualquer molécula tem uma dada energia, a qual se exibe no movimento da molécula).

*O movimento aleatório é também conhecido como “movimento do bêbado”, em que na analogia o bêbado escolhe uma nova direcção a cada passo. Cada direcção possível tem a mesma probabilidade de ser escolhida. O movimento browniano, per si, é também um movimento aleatório.

O que Brown viu ao microscópio não foram moléculas, claro (notar que o microscópio só tinha uma resolução que ia até à ordem do micrómetro, isto é, um milésimo do milímetro, enquanto que a escala das moléculas se encontra no nanómetro, ou seja, o milésimo do milésimo do milímetro). Viu a consequência desse movimento numa partícula macroscópica, isto porque a partícula de grande tamanho (os grãos de pólen são “grandes” em comparação com as moléculas) sofre choques de intensidade aleatória, de “lados” aleatórios, devido ao facto de estar a “flutuar” no meio de moléculas que têm movimento aleatório e que por isso chocam com ela aleatoriamente.

A partícula maior recebe choques aleatórios das partículas mais pequenas, resultando num movimento aleatório da partícula maior.

O leitor talvez se esteja a questionar: “Se podem postular que a temperatura é responsável pelo movimento aleatório de moléculas, porque não também de partículas um pouco maiores?” A resposta é basicamente por a partícula maior ter uma maior massa, requerendo por isso uma muito maior energia para se mover, não sendo a temperatura suficiente para justificar o movimento observado. “Mas se as moléculas se movem pela energia térmica, como poderão ser elas capazes de fazer mover o grão de pólen?” Uma só molécula não seria capaz, mas neste caso temos muitas moléculas (na figura em cima a escala não está correcta, a partícula maior deveria ser maior em relação às partículas pequenas), portanto somando as suas “energias” (na verdade trata-se da soma de momentos lineares), a energia total que o grão de pólen recebe é maior que a energia térmica de cada molécula.

Como podem deduzir, uma das características deste movimento é que a posição média não varia ao longo do tempo, isto é, em média não sai do mesmo lugar, pois acaba sempre por lá voltar. Temos considerado até aqui movimento a duas dimensões, isto é, sobre uma superfície, mas o resultado é igualmente válido para uma dimensão, três dimensões, ou mais dimensões (não espaciais, noutro tipo de problemas). A uma dimensão não espacial pode-se imaginar, por exemplo, um jogo de apostas: Suponhamos que temos 500€ no bolso e apostamos sempre 50€ em como o número que vai sair no lançamento de um dado é par. Como sabem, existe uma probabilidade de 50% de se acertar, o que significa que jogando muitas vezes, mantendo a aposta fixa, deveremos continuar em média com os 500€ (umas vezes um pouco mais, outras vezes um pouco menos). Trata-se de uma só dimensão: a “escala” que mede a quantidade de dinheiro que temos.

A característica anterior, além de óbvia, parece ser bastante inútil. Contudo, uma análise matemática do problema permite chegar à conclusão que o estudo de um movimento aleatório pode revelar-se bastante útil, principalmente quando é desconhecida a dimensão do problema em causa (isto é, em certos casos, pode-se ter informação de como decorreu o movimento, sem se saber exactamente se o mesmo aconteceu num espaço a uma dimensão, duas, três dimensões, ou uma outra dimensão fractal*, no caso espacial).

*(A vermelho: pormenores um pouco mais técnicos.) Em geral, o volume num dado espaço é dado por uma expressão do género: , em que ‘V’ é o volume, ‘a’ é o comprimento de uma aresta e ‘d’ a dimensão do espaço. No caso de um quadrado ou cubo, a expressão é exacta (ainda que no caso a 2D, o “volume” tome o nome de “área”; por outras palavras, neste contexto, “volume” é um termo geral que define o “tamanho” do espaço), noutros casos são necessárias pequenas correcções (em coeficientes), mas continuando a verificar-se esta dependência. Para os casos comuns, ‘d’ é um número inteiro, no entanto, imagine-se que se está a considerar um sólido poroso – nesse caso o volume correcto já não é obtido com as tais “pequenas correcções” obtidas com coeficientes, é necessária uma alteração no ‘d’, podendo este tomar valores não inteiros. Esta é a origem da dimensão fractal.

A teoria matemática introduzida por Einstein para descrever o movimento browniano verificou-se tão exacta (a demonstração experimental valeu o Prémio Nobel da Física a Jean-Baptiste Perrin em 1926), que esta acabou por ser a primeira evidência concreta de que as moléculas deveriam mesmo existir. A Teoria Cinética que, como disse, também carecia de verificação experimental, recebeu com isto um forte apoio. Foi possível determinar pela primeira vez com precisão a Constante de Avogadro (define o número de átomos de carbono em 12 gramas de carbono, o que serve de referência para calcular imensas quantidades químicas). Desenvolveram-se também conceitos importantes que foram mais tarde desenvolvidos na Teoria do Caos. Verificou-se uma relação de correspondência entre o movimento browniano e fenómenos de difusão (passando estes a ser melhor compreendidos).

À esquerda Jean-Baptiste Perrin, premiado com o Nobel da Física por verificar as previsões de Einstein. À direita Paul Pierre Levy, matemático francês que, entre outras contribuições na teoria de probabilidades, introduziu a distribuição probabilística agora conhecida como “Levy flight”.

O estudo do movimento aleatório é hoje considerado uma base essencial na análise de processos estocásticos (probabilísticos). Tem diversas aplicações no estudo de problemas físicos (por exemplo, a difusão de uma gota de tinta numa folha de papel absorvente), biológicos (muitos animais seguem uma estratégia de “Levy flight” na procura de alimentos/ presas, que é uma generalização do movimento browniano*; por outro lado, muitos padrões na natureza são aleatórios), economia (estudo de flutuações em preços, acções, etc.), ciências políticas (em opiniões de multidões, por exemplo); em suma, em quase tudo se pode encontrar aleatoriedade e como tal também o movimento browniano e as suas implicações.

*No caso do movimento browniano considera-se que quando o “bêbado” (por exemplo) dá um passo, este passo tem um comprimento mais ou menos constante, ou melhor, existe um comprimento médio que tem uma maior probabilidade de ser dado. Em “Levy flight”, o comprimento pode variar bastante, havendo probabilidades consideráveis de serem dados passos com um comprimento muito maior que a média (tais passos são os “flight’s” – saltos/ vôos). A estratégia de Levy flight traduz-se numa optimização do processo de procura. Os animais, de algum modo, terão evoluído de modo a “compreender” que esta é a melhor estratégia de caça (por exemplo).

“Tenho quase a certeza que a vi mover-se. Abana a mesa novamente.”