Paradoxos da Razão – Parte V

Um paradoxo é uma contradição, é como que uma falha lógica. Assim, como é que o pensamento racional poderá conduzir a paradoxos? A questão em si parece ser paradoxal, a menos que a razão nos pregue partidas.

Na parte I falei-vos dos paradoxos de Zeno, do paradoxo da roda de Aristóteles, e do problema da corda à volta da Terra. Na parte II abordei o Paradoxo de São Petersburgo, o Princípio da Casa de Pombos, e a Fita de Möbius. Na parte III debrucei-me sobre o Paradoxo do Barbeiro, o Teorema do Macaco Infinito, o Paradoxo de Banach-Tarski, e o Paradoxo do Grande Hotel de Hilbert. Na parte IV expus os Teoremas de Gödel, o Paradoxo do Aniversário, e o Paradoxo da linha de costa.

Nesta quinta parte, que será a última, vou discorrer sobre o Paradoxo de Newcomb, sobre o Paradoxo de Parrondo, e sobre o Problema do lençol.

Paradoxo de Newcomb

Em 1960, o físico William Newcomb (1927-1999) inventou o paradoxo que se segue, o qual foi posteriormente aprimorado pelo filósofo Robert Nozick (1938-2002) em 1969.

Imagine que um mágico lhe mostra duas caixas fechadas, caixa A e caixa B. Segundo o mágico, a caixa A tem 500€, enquanto que a caixa B ou tem 1 milhão de euros, ou está vazia. É-lhe pedido para escolher ou ambas as caixas, ou apenas a caixa B. Antes de se decidir, o mágico acrescenta que fez uma previsão sobre o que você irá escolher, e afirma que tem quase a certeza que está correcto. Informa ainda que caso a sua previsão tenha sido que você vai escolher ambas as caixas, então deixou a caixa B vazia. Caso a sua previsão seja que você escolha apenas a caixa B, então esta caixa terá mesmo 1 milhão de euros. Independentemente de tudo o resto, a caixa A tem sempre os 500€.

Naturalmente, nesta história é suposto assumirmos que o mágico é de facto muito bom a adivinhar. Assim sendo, parece fazer sentido escolher a caixa B para receber 1 milhão de euros, pois se escolhermos ambas as caixas, o mágico provavelmente terá adivinhado, e por isso recebemos apenas 500€, visto que a caixa B deverá estar vazia.

O mágico nota que você está um pouco indeciso, pelo que decide dar-lhe mais um esclarecimento: “A minha previsão foi feita ontem, e de acordo com ela coloquei ou não 1 milhão de euros na caixa B. As caixas têm estado fechadas desde então.”

Sendo assim parece que faz mais sentido escolher ambas as caixas, para que possamos ficar com o máximo que elas contiverem. Para quê deitar ao lixo 500€ e correr o risco de ficar sem nada? Será que podemos mesmo confiar na intuição do mágico? De qualquer das formas, as caixas já estão fechadas…

Como é que você resolveria este dilema?

Paradoxo de Parrondo

Imagine que lhe é dada a chance de jogar um jogo em que a probabilidade de você vencer é inferior à probabilidade de você perder. Se jogar muitas vezes decerto que você irá acabar por ficar a perder (ver A Lei dos Grandes Números no artigo sobre A Estatística das Sondagens). Se o jogo for a dinheiro, não parecerá muito tentador experimentar… Se lhe oferecerem a chance de jogar simultaneamente um outro jogo similar (isto é, com probabilidade de vencer inferior à probabilidade de perder), parecer-lhe-á que só lhe querem roubar o seu dinheiro mais rapidamente.

O Paradoxo de Parrondo mostra que não tem que ser necessariamente assim! É por vezes possível definir uma estratégia que permita sair a ganhar usando estes jogos que à partida nos conduziriam à inevitável falência.

Passo a um exemplo concreto: no primeiro jogo, a sua probabilidade de vencer é 0.5-x (ou seja, inferior a 50%, pois x é maior que zero). Por cada jogo você poderá apostar 1€… Naturalmente, ao fim de vários jogos, você estará falido (só se x fosse zero é que o total das suas receitas seria semelhante ao dos seus gastos). No segundo jogo a sua probabilidade de vencer depende de quanto dinheiro você tem: se tiver um múltiplo de 3, a sua probabilidade de ganhar é apenas de 0.1-x (o que implica que x está confinado ao intervalo de zero a 0.1). Caso não seja múltiplo de 3, a sua probabilidade de ganhar é de 3/4-x (neste caso é superior a 50%). Quer o primeiro, quer o segundo jogo, se jogados individualmente, conduzem a que você inevitavelmente perca dinheiro. Contudo, se estes jogos forem jogados alternadamente, então você sairá a ganhar! (Quem souber programar poderá facilmente fazer um programa para verificar isto. Podem usar, por exemplo, x=0.5%.) Ou seja, quando jogados alternadamente, a probabilidade de se sair a ganhar é superior a 50%! (Note-se que nem todas as combinações alternadas funcionam: ABABABAB… conduz a um cenário de falência; já a estratégia AABBAABBAABB… conduz a um cenário de riqueza. Além disto, ‘x’ na verdade tem que ser bem menor que 10%. Numericamente estimei que o ‘x’ crítico que separa um cenário de perda de um cenário de ganho está compreendido entre 1 e 2%, usando a estratégia AABBAABB… Se souberem programar, como disse, fica o desafio para “brincarem” com o problema.)

Este paradoxo, que nos surge em Teoria dos Jogos, foi criado por Juan Parrondo, físico espanhol, em 1996. Na verdade é apenas um “fenómeno” contra-intuitivo, pois quando analisado em detalhe verifica-se que não existe qualquer paradoxo: a estratégia assenta num jogo que depende do outro, de modo a que, no exemplo de cima, se evitem os múltiplos de 3 quando se joga o segundo jogo. Quando se passa de dois jogos para um só, está-se na verdade a criar um novo jogo que difere dos outros dois separados, o qual tem uma nova probabilidade associada. (Não é difícil de imaginar que é possível inventar inúmeros jogos deste género.)

Problema do lençol

Quantas vezes tem que dobrar o seu lençol sobre si mesmo para que este alcance uma altura de, digamos, a distância da Terra à Lua?! Qual a sua estimativa?

Já consegue adivinhar que será um número incrivelmente baixo (de outro modo não seria aqui mencionado)… 40 vezes é quanto basta! Para o demonstrar vou assumir que um lençol tem uma espessura de 0.4 mm. Quando você faz uma dobra, isso faz com que a espessura duplique… Portanto: uma dobra, 0.8 mm; duas dobras, 1.6 mm; três dobras, 3.2 mm… Ou seja, temos que a espessura (E):

Em que ‘n’ é o número de dobras, e 2^n representa a multiplicação de 2 consigo próprio n vezes (por exemplo, ).

Como , então a espessura de um lençol dobrado 40 vezes é mm, ou seja, E=400 mil km, enquanto que a distância da Terra à Lua é aproximadamente 384 400 km.

O mesmo problema pode ser colocado trocando os protagonistas: quantas vezes teremos que dobrar uma folha de papel para que a espessura desta alcance o Sol? Como será fácil de demonstrar usando a expressão de cima, e usando como espessura do papel 0.1 mm: basta dobrar 51 vezes.

Como é claro, é impossível dobrar tantas vezes um papel. Até 2002 pensava-se que seria impossível dobrar um papel a meio mais de 7 ou 8 vezes, contudo, nesse ano, Britney Gallivan (na foto de cima), estudante de uma escola secundária, surpreendeu toda a gente ao conseguir dobrar 12 vezes uma folha de papel!

Com este problema contra-intuitivo dou por concluído este artigo sobre paradoxos (e não só) da Matemática. Espero que tenham gostado. A “inspiração” para escrever este artigo veio da leitura do “The Math Book” de Clifford A. Pickover, que serviu também de bibliografia. Recomendo, por isso, a sua leitura a todos os interessados em Matemática (trata-se de um livro de divulgação, acessível a todos).

 “Não fui eu! Nunca atirei nada! Não podes provar que eu atirei! … Além disso, falhei, não falhei?!”