Eureka!

Antes de “mergulhar” na Eureka de Arquimedes, deixo-vos um problema famoso para pensarem:

Imaginem-se dentro de um pequeno barco de borracha numa piscina. Convosco têm uma pedra. Se lançarem a pedra para a água, o nível da água da piscina sobe ou desce? Ou fica igual?

Não é difícil de fazer a demonstração experimental em casa com algo análogo:

No final deste artigo dar-vos-ei a resposta à questão de cima.

Arquimedes teve que resolver um problema semelhante. Arquimedes de Siracusa (287 a.C. – 212 a.C.) foi um dos maiores matemáticos de sempre. Conta a história que o rei Hierão II mandou fazer uma coroa de ouro. Tendo fornecido o ouro, suspeitou que o tivessem enganado, roubando-lhe algum ouro, trocando-o por outro metal. O peso da coroa era igual ao peso do ouro fornecido, mas isso não garantia que não tivesse havido troca (pelo menos no interior da coroa).

A lenda diz-nos que Arquimedes estava a tomar banho quando teve a ideia que lhe permitiu resolver o problema, e no seu estado de excitação saiu do banho e foi para a rua gritar “Eureka” (“encontrei”/ “descobri”), tendo-se esquecido de vestir. Eis um exemplo em como é mais fácil sermos recordados pelos nossos momentos embaraçosos, do que pelos nossos sucessos. No entanto, para a ciência ficou o sucesso em causa: o Princípio de Arquimedes.

Para saber se era ouro, Arquimedes tinha que determinar a densidade da coroa e compará-la com a do ouro (densidade = massa a dividir pelo volume). Por outras palavras, uma vez que a coroa tinha o peso certo, Arquimedes sabia que caso a coroa tivesse um metal que não ouro, o seu volume seria diferente do expectável (maior, tendo em conta os metais que se usavam na altura, menos densos que o ouro). Mas como medir o volume de um objecto tão irregular como uma coroa? Como é evidente, Arquimedes não podia simplesmente derreter a coroa e transformá-la num cubo, por exemplo (cujo volume seria fácil de calcular). Alegadamente, quando Arquimedes tomava o seu banho…

… reparou que o nível da água na sua “banheira” dependia do quão mais ou menos o seu corpo estivesse mergulhado na água. Por outras palavras, o volume do seu corpo fazia deslocar a água numa proporção igual ao volume submerso. Isto permitia-lhe então medir o volume de qualquer corpo, independentemente da sua forma: bastava mergulhá-lo em água e medir o deslocamento do nível da água.

Mas não, este não é o famoso Princípio de Arquimedes. É possível que tenha sido desta forma que ele tenha resolvido o problema, mas tal solução não aparece nos seus livros. Por outro lado, tendo em conta os instrumentos de medida que existiam na altura, é improvável que conseguissem medir o deslocamento da água com uma precisão suficientemente grande para que chegassem a uma resposta definitiva. (Caso o leitor não compreenda bem o conceito de precisão, imagine o problema de medir a espessura de um cabelo usando uma régua: não é possível porque a menor divisão da escala de uma régua, normalmente 1 milímetro, é muito maior que a espessura do cabelo, ou seja, a régua não tem precisão suficiente para o problema em causa. Arquimedes teria tido um problema semelhante com a medição do volume da água deslocado por uma coroa.)

A solução que Arquimedes provavelmente usou (e que está publicada numa das suas obras) deverá ter sido mesmo o que é hoje conhecido por Princípio de Arquimedes, e que é ilustrado pela animação seguinte:

Arquimedes compreendeu que quando um corpo é submerso em água, este sofre uma força de impulsão para “cima”. Esta força é proporcional ao volume de água deslocado pelo volume do corpo submerso. Assim, um maior volume implica uma maior força de impulsão da água, daí que na animação de cima a coroa falsificada mergulhe menos para baixo que o ouro puro. Note que fora da água, o bloco de ouro tem o mesmo peso que a coroa (a balança está equilibrada), no entanto, quando mergulhados, a coroa não vai tanto ao fundo, o que significa que está ser impulsionada por uma força de baixo para cima superior àquela que o bloco está a sentir. Reinterpretando, pode-se dizer que quando um corpo é mergulhado num líquido é necessário subtrair ao seu peso uma força de impulsão executada pelo líquido sobre o corpo. Assim, dois objectos com a mesma massa, mas volumes diferentes, têm um peso diferente dentro de água: o mais “gordo” é mais leve.

Deixemos Arquimedes, e avancemos no tempo até dia 15 de Abril de 1912, o dia da tragédia do Titanic. Porque é que o Titanic se afundou? Ou melhor, porque razão são os icebergues tão perigosos?

Para responder a essas questões convém saber responder a esta: qual a condição para que um corpo possa flutuar num líquido?

Ora vejamos: um corpo na água sente duas forças, uma igual ao seu peso, que o tenta afundar, e a força de impulsão do líquido, que o tenta trazer até à superfície.

A demonstração é muito simples, mas requer alguns conceitos básicos de Física. (Se o leitor não gostar de Matemática poderá simplesmente ler a explicação, sem se focar nas equações…) Primeiro recordo que a força sentida por um corpo é definida pelo produto da sua massa pela sua aceleração (isto é, quão depressa a velocidade está a mudar; ver o artigo Forças da Natureza). Em segundo, e uma vez que estamos no campo da hidrostática, convém definir o conceito de pressão: força a dividir pela área em que a mesma é aplicada. Por exemplo, a pressão que vocês exercem no chão quando estão de pé é igual ao vosso peso a dividir pela área da sola dos vossos sapatos, isto é, a área de contacto (perpendicular à direcção do peso). Se levantarem um pé, o vosso peso não mudou, mas a pressão aplicada no solo duplicou (porque “concentraram” o contacto em metade da área).

Podemos então “calcular” a diferença de pressão entre dois pontos a diferentes alturas dentro de um líquido:

A diferença entre o ponto A e o ponto B é que o ponto B tem mais 10 metros de água em “cima”. Assim, a diferença de pressões é igual ao peso a dividir pela área da coluna de água entre A e B:

‘m’ é a massa, ‘g’ é a aceleração gravítica, ‘A’ é a área em causa, ρ é a densidade do líquido, ‘V’ o volume, e ‘h’ a altura do líquido do ponto B ao ponto A, ou seja, 10 metros na imagem de cima. (Usei as “fórmulas”: massa = densidade x volume, e volume = área x altura – considerem por exemplo um cilindro.)

Portanto,

Esta é a Lei de Pascal (o físico e matemático francês Blaise Pascal viveu entre 1623 e 1662). Como podem ver, a diferença de pressão é tanto maior quanto maior for a diferença de alturas ‘h’ dos pontos considerados, como é lógico. Por outro lado, quanto maior a densidade do líquido, maior a diferença de pressão, visto que maior densidade implica maior massa e logo maior peso, para um dado volume fixo.

É daqui que provém a força de impulsão: é a mesma força que permite ao líquido suportar-se a si mesmo. Tal como o vosso pescoço só tem que suportar o peso da vossa cabeça (em condições normais), mas os pés têm que suportar todo o vosso peso, também num copo de água, a água do fundo tem que suportar o peso de toda a água que está por cima. Ou seja, de forma informal pode-se dizer que a água de baixo “empurra” para cima, para suster o peso da água que tem em cima. Se colocarmos um objecto na água ele sente necessariamente esta força.

Estamos agora em condições de analisar a condição para que um objecto flutue num líquido. Considerem a imagem seguinte:

O objecto sente três forças: o seu peso, a impulsão do líquido (consequência da pressão), e o peso do ar que suporta (pressão atmosférica). Destas, apenas a impulsão empurra o objecto para cima, o que implica que para o objecto ficar em repouso, esta impulsão tem que ser igual à soma das outras duas forças (a pressão atmosférica advém de toda a coluna de ar que têm por cima de vós, que tal como vós, é atraída pela gravidade). Traduzindo em pressões:

Ou seja,

ρo é a densidade do objecto, e ‘Vo‘ o seu volume. É importante reconhecer que a pressão em C é (em muito boa aproximação) igual à pressão em A (sobre o líquido) (a coluna de ar é sensivelmente a mesma). Temos por isso, e usando a Lei de Pascal:

Em que ρl é a densidade do líquido, ‘h’ é a distância de B a A, e ‘Vl‘ corresponde ao volume do líquido deslocado pelo objecto, isto é, o volume da parte submersa do objecto (mais uma vez, se considerarem que o objecto é um cilindro, talvez seja mais fácil de compreenderem o porquê de a altura ‘h’ poder ser escrita como a fracção do volume da parte submersa, a dividir pela área do cilindro; mas dada a simetria do problema, a geometria do objecto não é relevante). Ficamos portanto com:

Que é o mesmo que

Ou se preferirem, a massa da água deslocada tem que ser igual à massa do objecto para que este flutue. Trata-se de uma conclusão evidente se pensarem na forma como a pressão funciona, de acordo com o que expliquei em cima.

Analisando melhor a equação: ‘Vl‘ é em geral menor que ‘Vo‘, o que implica que a densidade do líquido tem que ser superior à densidade do objecto para que este flutue, caso contrário o objecto vai ao fundo. Os volumes podem ser iguais: nesse caso significa que o corpo está completamente mergulhado no líquido e irá para cima se a sua densidade for menor que a do líquido, para baixo se for maior, ou fica em repouso se for igual.

Posso agora explicar o porquê de os icebergues serem perigosos: um icebergue é formado por gelo, o qual, como sabem, flutua na água líquida porque tem uma densidade menor que a da água líquida. A densidade da água líquida é aproximadamente 1 grama por centímetro cúbico, enquanto que a densidade do gelo é aproximadamente 0.92 grama por centímetro cúbico. Assim, usando a equação de cima temos:

Esta equação diz-nos que 92% do gelo está submerso quando flutua na água líquida… Por outras palavras, quando um marinheiro avista um icebergue está literalmente a ver apenas a “ponta do icebergue” (trata-se de uma expressão idiomática em inglês), porque 92% do seu volume está “escondido” debaixo de água! Um perigo à espreita… Quando o icebergue é avistado, a embarcação já poderá estar muito próxima da parte submersa do icebergue.

Ainda tendo o Titanic em mente, é justo perguntar como é que em primeira instância pode um “monstro de ferro” como o Titanic flutuar.

É simples: se o Titanic fosse efectivamente um “bloco de ferro”, de certo que ia ao fundo. No entanto, é oco, o que significa que o seu volume não só é preenchido por “ferro” mas também por ar (e outras coisas, naturalmente). Assim, se o volume de ar for suficientemente grande, isso implica que o volume de água deslocada será suficiente para suster o “monstro de ferro”.

Para acabar, o leitor ainda se recorda da questão que lhe coloquei no início? Se deitar a pedra à água, o nível da água na piscina sobe ou desce? Pense um pouco…

Para a rocha estar no barco é preciso que um dado volume de água seja deslocado para permitir que o barco (com a rocha) flutue. Este volume de água é maior que o volume da pedra, visto que a pedra tem uma maior densidade que a água. Quando a pedra é lançada à água, o nível da água sofre duas contribuições: por um lado tem-se que adicionar o volume da pedra, por outro tem-se que subtrair o volume de água que já não é deslocada. Como o volume de água deslocada era maior que o volume da pedra, temos que o nível da água desce!

“Fiz esta carta mais longa que o habitual apenas porque não tive tempo de a fazer mais curta.” – Blaise Pascal.