A beleza do arco-íris

Neste artigo proponho-me a explicar-vos como é que o arco-íris se forma. Antes de começar, permitam-me que ataque a velha ideia de que um olhar científico e mecanicista destrói a beleza natural, emotiva de um dado objecto ou fenómeno. Pelo contrário, quando compreendemos um dado fenómeno somos capazes não só de o ver “como um danado” (Alberto Caeiro), mas também de nos maravilharmos com os detalhes ocultos ao olhar ignorante.

Feynman diz-nos isto mesmo numa das suas famosas entrevistas:

A ciência apenas adiciona à nossa percepção de beleza, nunca subtrai!

Espero que este artigo consiga provar isto mesmo a quem não estiver convencido.

Suponho que a maioria saiba que o arco-íris é um fenómeno luminoso que podemos presenciar quando a luz solar incide sobre gotículas de chuva. Tem que ser luz solar? Não. Tem que ser gotas de chuva? Não. Não obstante, essas são as condições normais para que possamos observar o fenómeno “naturalmente”. A razão pela qual é raro termos o prazer de presenciar um arco-íris é fácil de adivinhar: quando chove o céu tende a estar coberto por nuvens, pelo que não temos luz solar suficiente para que o fenómeno seja observável.

Será que da última vez que viram um arco-íris notaram todas as suas particularidades? Qual a cor interior? Vermelho ou violeta? E se conseguiram ver um segundo arco-íris (mais ténue e exterior ao primeiro), a ordem das cores era a mesma? Notaram que existe uma diferença de luminosidade entre o interior e o exterior do arco? Em que zona do céu costuma aparecer o arco-íris? A que altura do dia? Se olharem o arco-íris com óculos de Sol, fará diferença?

Antes de mais, recordo que vemos a luz que nos chega aos olhos. No caso do arco-íris, trata-se da luz que as gotículas de água “reflectem” na nossa direcção. Isto significa que para vermos um arco-íris devemos de nos colocar de costas para o Sol, e na nossa frente tem que estar a chover (não necessariamente sobre nós). Porque é que coloquei o reflectir entre aspas? Porque a reflexão, apesar de ocorrer, não produz qualquer arco-íris (aconselho o leitor a recordar os fenómenos ondulatórios da luz). Para que haja dispersão óptica, isto é, “decomposição” da luz branca nas cores que a compõe, precisamos do fenómeno de refracção. A refracção e a reflexão são dois dos efeitos possíveis de ocorrer quando a luz encontra um meio diferente. No caso em estudo, a luz solar ao incidir sobre a água sofre ambos os fenómenos: parte da luz é reflectida (volta para “trás” sem “entrar” na água), enquanto que a outra parte atravessa a água, sofrendo refracção. No fenómeno de refracção a luz muda ligeiramente de direcção:

Nesta imagem, a seta a vermelho representa um raio luminoso que incide sobre a água (por exemplo) com um dado ângulo ø1, e que adquire uma nova direcção ø2 ao atravessar a água. Trata-se de um fenómeno que o leitor seguramente já observou:

Este fenómeno explica, por exemplo, o porquê de a maioria ser tão aselha a pescar com lança:

Voltando ao caso da refracção da luz branca (composta por todas as cores), acontece que para diferentes cores de luz (que correspondem a diferentes comprimentos de onda) o ângulo de refracção é diferente:

Se o leitor estiver atento, irá pensar: “Então se a luz refractada que pode criar o arco-íris é aquela que atravessa a água da chuva, como é que a vemos?” Isto é, tendo em conta que o Sol está atrás de nós, e a chuva em frente, se a luz refractada é aquela que atravessa a água, então não a iremos ver, visto que não nos chega aos olhos. De facto, a luz precisa ainda de ser reflectida dentro da gotícula para que possa voltar na nossa direcção:

O círculo azul representa uma gotícula de água. Como podem ver, a luz branca entra no canto superior esquerdo da gotícula, é refractada, a luz já decomposta atravessa a gotícula, encontra a interface da gota no lado direito, é reflectida, e por fim é novamente refractada à saída da gota (em baixo). A reflexão interna é o que permite à luz voltar na nossa direcção. Devo acrescentar que a figura está incompleta: por um lado, em cada um dos três casos em que a luz encontra a interface ar-água, ou água-ar, existe sempre reflexão e refracção. Na figura estão apenas representadas as reflexões e refracções responsáveis pelo arco-íris (pelo primeiro arco). Por outro lado, como há também reflexão interna da luz no terceiro “ponto” de interface (em baixo), isto significa que a luz continua a “dar voltas” dentro da gotícula, saindo noutros pontos (o ponto seguinte é responsável pelo segundo arco). Note-se, porém, que em cada reflexão e refracção a luz “dividi-se” (entre aquela que se mantém dentro da gotícula, e aquela que sai), pelo que a intensidade luminosa vai diminuindo (daí que o segundo arco seja sempre muito mais ténue que o primeiro, e o terceiro e seguintes arcos sejam extremamente difíceis de observar). Além disto, o leitor perspicaz poderá ainda notar que há algo aparentemente de muito errado nesta imagem caso se pretenda usá-la para explicar o arco-íris: temos à partida raios luminosos a entrar em muitos pontos diferentes, e não apenas num só, como indica a figura. Sendo assim, a luz decomposta também sai em imensas posições diferentes, adjacentes entre si, o que implica que haja como que uma mistura das cores, e nesse caso não devíamos ver arco-íris nenhum, mas apenas luz branca. De facto, entram raios em todos os pontos (do “lado” do Sol), porém nem todas as direcções de saída são permitidas! Trata-se de um problema de geometria que podem verificar (usando a Lei de Snell): embora haja de facto muitas direcções possíveis por onde a luz pode sair, existe um ângulo máximo a partir do qual mais luz nenhuma sai! Esse ângulo são os 42º representados na figura de cima. Na figura abaixo podem ver o trajecto de diferentes raios incidentes (por uma questão de conveniência e para simplificar, só se mostra nesta figura o que acontece aos raios que incidem na metade superior da gota circular, mas por simetria sabemos que o mesmo acontece para a metade inferior).

O ângulo máximo é ligeiramente diferente para cada uma das cores, o que possibilita que elas não se misturem. Abaixo do ângulo máximo (dentro do arco) todos os ângulos são permitidos e por isso temos luz branca. Acima não sai luz nenhuma. É por isso que a parte do céu abaixo do arco-íris é sempre muito mais luminosa que a de cima. É algo que se nota perfeitamente:

O segundo arco provém de uma segunda reflexão interna, o que permite que o ângulo máximo seja outro (maior que o do primeiro arco). Esta segunda reflexão interna da luz dentro das gotículas faz com que a ordem das cores seja invertida, de tal modo que no caso do segundo arco é o vermelho a cor interna, e o violeta a cor externa. Na verdade, em vez de termos um ângulo máximo, como no caso do primeiro arco, temos um ângulo mínimo. Assim, a zona de luz branca em vez de aparecer abaixo do arco, como no primeiro arco, aparece acima. É algo já um pouco difícil de distinguir, visto a luz ser muito ténue (com alguma imaginação e boa vontade podem reconhecer que na imagem de cima o céu parece ser ligeiramente mais escuro entre os dois arcos em relação ao céu acima do segundo arco).

A geometria em arco é consequência da geometria quase esférica das gotículas de água, que projectam um género de cone de luz na direcção do Sol. Isto é, aquilo que expliquei em relação ao ângulo máximo é como que um “corte” a duas dimensões do que acontece de facto a três dimensões, onde os 42º correspondem à abertura do cone:

Recordo mais uma vez: nós vemos a luz que nos chega aos olhos! Isso significa que o arco-íris que vemos corresponde às margens dos cones que estão alinhados com os nossos olhos! Note-se que os raios de luz vindos do Sol incidem todos com uma dada direcção fixa sobre as gotas (o Sol está suficientemente longe para que se possa considerar em boa aproximação que os raios de luz chegam paralelos entre si), o que significa que todos os cones apontam na mesma direcção, daí que o efeito não se anule.

As gotículas de chuva estão dispersas pelo ar, em posições diferentes, o que significa que apesar de os cones de luz de todas elas apontarem na mesma direcção, estando as gotas em posições diferentes, a luz que nos chega de cada cone é diferente. Isto é, de algumas gotas recebemos luz branca (do interior do cone), de outras recebemos cores (dos limites do cone), e de outras não recebemos luz nenhuma, porque estamos fora do seu cone. A luz do arco-íris provém, portanto, de um ângulo muito bem definido: 42º acima de uma linha paralela aos raios solares. Isto é, estando vós de costas para o Sol, a vossa sombra está na vossa frente, e se olharem para a cabeça da sombra estão efectivamente a olhar numa direcção paralela aos raios solares (estão a olhar para o ponto “anti-solar” representado na figura de cima). 42º acima encontram o arco-íris. Assim, à medida que o Sol se põe, a vossa sombra aumenta, e portanto os 42º acima dela vão subindo, de tal modo que o arco-íris fica mais alto. Por outro lado, se o Sol estiver alto, os 42º fazem-vos olhar para um ponto abaixo da linha do horizonte, de tal modo que será difícil visualizar um arco-íris. Realço que o arco-íris que vêem não é o resultado de um só cone de luz, mas sim a composição de muitos.

O leitor arguto terá notado mais um problema: tudo bem que se veja distintamente o vermelho, visto ser a cor que tem o ângulo máximo maior, mas as cores interiores deveriam ser todas elas “contaminadas” pelo vermelho, em particular o violeta já não se deveria ver, visto que deveria estar “coberto” por todas as outras cores e nesse caso resultaria branco. Acontece que para além do efeito descrito, se se calcular a intensidade da luz em função do ângulo de abertura do cone deduz-se que a intensidade tem um máximo junto ao ângulo máximo, daí que o violeta se veja bem, ainda que esteja sobreposto por todas as outras cores (cuja intensidade é menor). O mesmo acontece para o segundo arco.

Para completar, menciono ainda que a espessura do arco-íris não se deve simplesmente à refracção das cores, mas também ao tamanho aparente do Sol no céu (cerca de 0.5º), o que faz “engrossar” o arco-íris em igual proporção.

Por esta altura o leitor já deverá ser capaz de responder a todas as questões que coloquei no princípio excepto, talvez, a última: se tentar observar um arco-íris com óculos de Sol o que irá ver? Verá um arco-íris cortado! Isto é, poderá apenas ver as “pontas” do arco, sem conseguir distinguir a parte central do arco. Porquê? Acontece que a luz do arco-íris é luz polarizada e os óculos de Sol são polarizadores… O que significa isto? A luz é uma onda electromagnética que, quando não polarizada (como a luz que recebemos do Sol), se propaga em múltiplos planos. A representação abaixa pode ajudar a compreender:

As linhas a vermelho representam ondas de campo eléctrico (ou de campo magnético). No meio da imagem veem um plano com linhas verticais o qual representa um polarizador. Do lado esquerdo do polarizador temos luz incidente não polarizada (e que é representada pelas múltiplas setas no plano do lado esquerdo), a qual ao passar pelo polarizador se torna luz polarizada do lado direito, representada por uma só direcção vertical no plano do lado direito. Os óculos de Sol são polarizadores, o que significa que deixam apenas passar luz que se propaga num dado plano. Como a luz do arco-íris é polarizada (por questões que talvez explique num outro artigo), isso significa que se propaga num só plano (aproximadamente, na verdade é luz cerca de 90% polarizada), e como tal se esse plano não coincidir com o plano polarizador dos óculos, tal implica que os óculos não irão permitir a passagem de luz até aos vossos olhos. Porém, se rodarem os óculos, irão encontrar um ângulo para o qual haverá passagem de luz. Trata-se de algo semelhante à experiência de usar dois polarizadores em sequência:

O primeiro polarizador (no centro) faz com que a luz incidente (vinda do lado esquerdo) se torne polarizada verticalmente, a qual ao encontrar um polarizador horizontal não irá conseguir “passar”. Espero, portanto, que da próxima vez que tiverem o prazer de encontrar um arco-íris tenham uns óculos de Sol à mão, para poder fazer a experiência. Notem que disse que poderiam “apenas ver as “pontas” do arco, sem conseguir distinguir a parte central do arco”: acontece que os óculos de Sol são polarizadores verticais, e a luz do arco-íris vem numa polarização “horizontal” em relação à tangente do arco:

Assim, ao rodarem os óculos de Sol irão deixar de ver diferentes partes do arco-íris.

Há outros fenómenos semelhantes ao arco-íris mas que são menos conhecidos por serem mais raros. Um exemplo é o arco-íris branco, que ocorre quando as gotas de chuva são muito pequenas, e nesse caso ocorre outro fenómeno em simultâneo: interferência, o que faz com que as cores se misturem até mesmo dentro do arco:

Notem que o aumento de luminosidade que ocorre no arco que discuti antes e que explica o porquê de se ver bem o violeta também ocorre no arco-íris branco. O mesmo sucede para o arco-íris vermelho:

Neste caso trata-se de um arco-íris que só pode ser observado durante o amanhecer ou durante o pôr do Sol, isto é, quando o céu (e em particular as nuvens) parece ter tons de vermelho.

A título de curiosidade, e uma vez que de certo modo está relacionado com este artigo, tenho que perguntar: sabe porquê que o céu é azul? Trata-se de uma consequência da dispersão de Rayleigh, um fenómeno que depende do tamanho das partículas que a luz encontra pelo seu caminho. Caso as partículas sejam suficientemente pequenas (como aquelas que encontramos na atmosfera), as cores que compõe a luz são dispersas de forma diferente, sendo o violeta o de maior intensidade (mas vemos o céu azul porque o nosso olho é mais sensível ao azul do que ao violeta). Já as nuvens são compostas por partículas de muito maior tamanho, o que faz com que as cores não sejam dispersas e sendo assim têm uma tonalidade branca, por reflectirem a luz branca. Além disto, à medida que o Sol se põe, os raios solares atravessam uma distância maior na atmosfera, o que faz com que a luz que nos chega aos olhos tenha que passar por mais partículas, as quais dispersam preferencialmente o azul e o verde, e por isso resta-nos o vermelho. As nuvens também se tornam avermelhadas porque apesar de reflectirem todas as cores, já só estão a ser iluminadas por luz vermelha. O mesmo acontece no arco-íris vermelho, pois a luz que chega às gotas de chuva já só tem a cor vermelha.

Eis uma representação simplificada da dispersão de Rayleigh:

A imagem induz em erro num detalhe: o Sol não emite luz amarela, mas sim luz branca. O próprio Sol na verdade parece ter a tonalidade amarela também por causa da dispersão de Rayleigh. No espaço não há gases que dispersem a luz, e por isso o Sol aí já tem a tonalidade branca:

Foto tirada pela NASA junto à Estação Espacial Internacional.

Se tiverem alguma dúvida não se coíbam de perguntar.

Ao contrário do que a “lenda” profetiza, a riqueza de um arco-íris está na sua beleza natural e não no alegado pote de ouro que se encontraria nas “pontas” do arco.