Probabilidade de ganhar o € Milhões

Neste artigo vou começar por introduzir o conceito de “probabilidade”, referir algumas das propriedades básicas e por fim exemplificar com o cálculo da probabilidade de ganhar o euromilhões. Este artigo servirá principalmente como base para artigos futuros sobre questões mais complexas.

Quando não se sabe se um dado acontecimento irá ocorrer ou não, é natural tentar-se estimar o quão provável e plausível é esse acontecimento, para que se possa agir em concordância com essa estimativa. Por exemplo, se numa empresa abrir uma vaga e cinco pessoas se candidatarem, estas pessoas poderão supor que têm uma probabilidade de 1 em 5, ou 1/5=0.2, ou de 20%, de obterem o emprego, supondo que são todos igualmente qualificados. Este exemplo dá-nos desde logo a fórmula matemática de calcular uma probabilidade:

P(X) significa probabilidade de X acontecer, NCF=número de casos favoráveis a X, e NCP = número de casos possíveis.

Caso ainda haja dúvidas, dou um outro exemplo: qual a probabilidade de sair um número par no lançamento de um dado (de seis faces numeradas)? O número de casos favoráveis é 3 (que corresponde aos números pares 2, 4 e 6), e o número de casos possíveis é 6. Assim a probabilidade é 3/6=0.5.

A primeira consequência óbvia da fórmula é que uma probabilidade está necessariamente compreendida entre 0 e 1, pois o número de casos favoráveis pode ser no mínimo zero (trata-se de algo impossível de ocorrer, por exemplo, a probabilidade de sair 7 no lançamento do dado), e no máximo ser igual ao número de casos possíveis (trata-se de algo que terá que necessariamente ocorrer, por exemplo, a probabilidade de sair um número no lançamento do dado).

O leitor talvez se esteja a questionar sobre o que acontece se não houver casos possíveis, ou seja, se este número for zero. Neste caso a probabilidade não está definida, pois se não há casos possíveis, nem faz sentido pensar em probabilidades.

Como referi em cima, uma probabilidade pode ser dada em percentagem, que significa por cento: neste caso, a probabilidade varia entre 0 e 100%, e corresponde à multiplicação da fórmula anterior por 100 (do lado direito).

Talvez o leitor se esteja a lembrar de percentagens superiores a 100% – tal não é impossível, simplesmente não se trata de uma probabilidade. Por exemplo, pode-se afirmar que um dado imposto aumentou 110%, e como está implícito, não se trata de uma probabilidade, mas sim de uma comparação (entre o valor antigo e o novo).

Há duas operações básicas que se podem fazer com probabilidades: somar e multiplicar. A somar podem associar a operação lógica “ou” (em casos mutuamente exclusivos), e a multiplicar a operação lógica “e” (em casos sucessivos e independentes). Antes de prosseguir para exemplos que deverão esclarecer estas noções, faço notar que da soma de duas probabilidades obtêm-se necessariamente uma probabilidade superior (visto as probabilidades serem sempre números positivos); já no caso da multiplicação de duas probabilidades obtém-se uma probabilidade menor que cada um das duas probabilidades (ou igual a uma, se a outra for 1), visto as probabilidades serem números inferiores ou iguais à unidade. Sendo assim, é natural que o “ou” seja a soma, porque o “ou” permite mais casos favoráveis, logo aumenta a probabilidade; já o “e” é uma restrição aos casos favoráveis, logo diminui a probabilidade. Caso não tenham compreendido bem, aconselho-vos a relerem este parágrafo depois de lerem os exemplos seguintes.

Exemplo da soma de probabilidades

Qual a probabilidade de sair um número par ou o número 3 no lançamento do dado?

Como a questão é simples, nem precisavam de considerar as probabilidades individuais para depois as somarem: o número de casos possíveis é 4, logo a probabilidade é 4/6=2/3. Confirmemos então que pela soma se obtém a mesma coisa: a probabilidade de sair número par é 1/2 e a probabilidade de sair 3 é 1/6, pelo que da soma se obtém o mesmo resultado: 1/2+1/6=(3+1)/6=4/6=2/3.

Reparem que o “mutuamente exclusivos” que referi antes é muito importante. Consideremos um exemplo em que tal condição não é verificada: qual a probabilidade de sair um número par ou um número superior a 3?

Se calcularmos pela fórmula directamente, tem-se que o número de casos favoráveis é 4 (corresponde ao 2, 4, 5 e 6), pelo que a probabilidade é de 4/6=2/3. Mas se usarmos a soma das probabilidades individuais: a probabilidade de número par é 1/2 e a probabilidade de número superior a 3 é também 1/2, pelo que a soma é 1. Noutros exemplos até se poderia encontrar uma probabilidade superior a 1, o que demonstrava imediatamente que o procedimento estava incorrecto. O problema advém do facto de no caso de os acontecimentos não serem mutuamente exclusivos, tal implica que existem casos favoráveis comuns a ambos os acontecimentos, pelo que ao fazer a soma, estes casos comuns estão a ser considerados duas vezes. No exemplo em causa, os números pares são o 2, 4 e 6, e os números superiores a 3 são o 4, 5 e 6, ou seja, o 4 e o 6 aparecem em ambos os conjuntos de casos favoráveis, pelo que ao serem contados duas vezes dão mais dois casos favoráveis do que o deveria ser, daí que o resultado pela soma tenha sido 1 (6/6) e não 4/6.

Assim, poderemos generalizar para casos onde os acontecimentos não são mutuamente exclusivos:

P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B)

Se os acontecimentos forem mutuamente exclusivos, isso significa que P(A e B) = 0.

Exemplo do produto de probabilidades

Um dado é lançado duas vezes. Qual a probabilidade de sair um número maior que 3 da primeira vez e um número par da segunda?

A probabilidade de sair um número maior que 3 é 1/2 e a probabilidade de sair número par é também 1/2, pelo que a probabilidade de ambos os acontecimentos ocorrerem é de (1/2)x(1/2)=1/4.

Se a questão fosse “qual a probabilidade de sair um número maior que 3 e par num só lançamento?”, já não se poderia usar o produto, pois os acontecimentos não eram independentes (um acontecimento não pode ser independente de si próprio, como é evidente). Pela fórmula ter-se-ia uma probabilidade de 2/6 (casos favoráveis: 4 e  6). Pelo produto ter-se-ia novamente 1/4, o que estaria obviamente incorrecto.

Probabilidade de ganhar o euromilhões

O cálculo é muito simples para quem sabe um pouco de combinatória, pelo que seria lógico explicar-vos primeiro combinatória, mas como não vos quero maçar, passo imediatamente para o cálculo, na esperança que compreendam apenas com base na lógica (estarei na verdade a explicar implicitamente o que o uso de combinações implicaria).

Como sabem, o euromilhões é um sorteio de 5 bolas de entre 50, mais um sorteio de 2 bolas de entre 11. O sorteio das 5 bolas é completamente independente do sorteio das 2 bolas, logo já estão a adivinhar que se pode calcular individualmente as probabilidades de cada um dos casos e depois multiplicá-las para obter a probabilidade de ganhar o euromilhões. É também bom notar que os sorteios são similares, pelo que a forma de calcular um é em tudo similar à que teremos que usar para calcular o outro, a única diferença são os números a usar. Por este motivo, vou simplificar o problema usando outros números, de modo a que seja mais fácil perceberem o procedimento, sem que a lógica tenha sido alterada.

Consideremos então que se tratava de um sorteio de 2 bolas de um todo de 4 bolas (numeradas de 1 a 4).

Antes da primeira bola sair, a probabilidade de um dado número sair é 1/4. Depois da primeira bola sair, tem-se menos um caso possível, logo a probabilidade de um dado número sair é de 1/3.

O leitor talvez já esteja a pensar que o passo seguinte é multiplicar 1/4 por 1/3 e já se tem a probabilidade de adivinhar as duas bolas, 1/12. Não é verdade, porque nestes sorteios não importa a ordem com que saem as bolas, mas neste caso estamos implicitamente a ter em conta a ordem. Vejamos em maior detalhe os casos possíveis:

1º) 1 + 2

2º) 1 + 3

3º) 1 + 4

4º) 2 + 1

5º) 2 + 3

6º) 2 + 4

7º) 3 + 1

8º) 3 + 2

9º) 3 + 4

10º) 4 + 1

11º) 4 + 2

12º) 4 + 3

Temos então 12 casos possíveis. Obtivemos uma probabilidade de 1/12, o que significa que estamos a considerar que apenas 1 destes casos possíveis é favorável. Tal não é verdade, pois existem vários casos possíveis que são equivalentes, uma vez que a ordem com que saem as bolas não importa. O 1º) caso é equivalente ao 4º), o 2º) ao 7º), etc.. Se deixarmos apenas os casos que são diferentes, ficamos com:

a)    1 + 2

b)   1 + 3

c)    1 + 4

d)   2 + 3

e)    2 + 4

f)     3 + 4

Ou seja, ficamos apenas com 6 casos possíveis, logo a probabilidade de ganhar este sorteio é na verdade de 1/6 e não de 1/12.

No caso do euromilhões temos muitos mais números, pelo que daria muito mais trabalho estar a tentar identificar todos os casos repetidos. Assim, usemos este exemplo para compreender a lógica que podemos usar em casos com números maiores, como os do euromilhões. Se repararem, a “coluna” da esquerda tem um padrão bem definido: o 1 aparece 3 vezes, o 2 aparece duas, o 3 uma e o 4 não aparece. O 1 é o “primeiro”, e por isso combina com todos os outros 3 números; o 2 combina com todos excepto o 1, para não repetir; o 3 combina já só com o 4, e o 4 com ninguém, porque seria necessariamente repetição.

Usando o mesmo tipo de lógica, quantos serão os casos possíveis no sorteio das 2 bolas de entre 11? (Para se certificarem que perceberam, podem fazer o exercício.)

Se fizessem as colunas, teriam o 1 a combinar com os números do 2 ao 11 (número de casos: 10), o 2 com os números do 3 ao 11 e assim sucessivamente:

Número de casos possíveis = 10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55

Assim, a probabilidade de acertar nas estrelas é de 1/55.

Este procedimento só é válido para o caso em que saem duas bolas – saindo mais bolas, é necessário eliminar mais repetições, pelo que o “algoritmo” será diferente – terá que ser mais geral.

Como se viu antes, se tivermos em conta a ordem, calcular o número de casos possíveis é bastante fácil. No caso de sortear 5 bolas das 50, bastaria considerar que a primeira era escolhida entre 50, a segunda entre 49, … , e a quinta entre 46. A probabilidade de saída de cada bola seria respectivamente 1/50, 1/49, …, e 1/46, respectivamente; pelo que o produto daria a probabilidade de uma dada chave, o que significa que o número de casos possíveis seria neste caso: 50x49x48x47x46. A questão é então como chegar ao número de casos possíveis sem ordem de saída, a partir deste número. Para isso, convém notar que se multiplicarmos o número de casos possíveis não ordenados pelo número de formas possíveis que se podem ordenar, isso dá-nos o número de casos possíveis ordenados, o que é o mesmo que escrever:

Onde NCPNO = número de casos possíveis não ordenados, NCPO= número de casos possíveis ordenados e NFPO5N = número de formas possíveis de ordenar 5 números.

Portanto, tendo nós já calculado o número de casos possíveis ordenados, falta-nos apenas saber de quantas formas diferentes é possível ordenar uma dada chave. No caso de ser uma chave de três números – seja 1, 2 e 3, tem-se as seguintes possibilidades:

A)   1+2+3

B)   1+3+2

C)   2+1+3

D)   2+3+1

E)   3+1+2

F)    3+2+1

Temos basicamente que por cada número (da coluna à esquerda), há duas combinações, portanto tem-se 3×2 combinações. Se tivéssemos 4 números, por cada número na primeira coluna haveria 3 na segunda e por cada um na segunda haveria 2 na terceira, ou seja, 4x3x2. Para o caso de cinco: 5x4x3x2. (E do mesmo modo para mais números.)

Estamos então em condições de calcular a probabilidade do sorteio das 50 bolas:

(Recordo que o ponto é outra forma de representar a multiplicação, em vez de usar o x.) A probabilidade é então o inverso disso:

P (5 das 50 bolas) = (5.4.3.2)/(50.49.48.47.46)

ou seja,

É claro que para calcular a probabilidade de acertar nas duas bolas das 11, se poderia fazer do mesmo modo. Neste caso, o número de casos possíveis com ordem é 11×10=110, e o número de combinações possíveis de dois números é obviamente 2 (A+B ou B+A, em que ‘A’ e ‘B’ representam dois números). Assim, obter-se-ia o mesmo resultado encontrado anteriormente:

Finalmente, e como disse, a probabilidade de ganhar o euromilhões é o produto das duas probabilidades já calculadas:

Esta probabilidade significa que para terem a certeza que ganham têm que fazer 116 milhões, 531 mil e 800 apostas para um só sorteio, para que todas as possibilidades sejam contempladas. Considerando apostas simples de 2€, teriam que gastar mais de 233 milhões de euros para conseguirem o prémio (usando apostas múltiplas não sei se é possível alterar o valor; fazendo as contas para as apostas múltiplas mais baixas, verifica-se que é indiferente, para as outras não fiz as contas).

Como não é fácil pensar em números tão grandes, dou-vos um exemplo: três anos, 8 meses e 10 dias têm aproximadamente 116 milhões de segundos! Por outras palavras, um “profeta” poder-vos-ia dizer que se vocês preenchessem um boletim do euromilhões por segundo, ao fim de quase 4 anos (sem parar) já teriam preenchido o talão vencedor de qualquer sorteio do euromilhões. Se considerassem que demoravam 10 segundos a preencher um talão e que passariam umas 8h por dia a dormir, então basicamente precisariam da vossa vida toda para preencher todos os boletins com todas as combinações de números possíveis.

“Se eu ganhasse a lotaria compraria todos os videojogos existentes, compraria uma fábrica de chocolates, compraria milhares de bandas desenhadas, milhões de doces e compraria… a… hmm… E provavelmente desperdiçava o resto!”