Hotel de Hilbert: Universo Infinito Expande-se?

Se tudo o que existe é Universo e o Universo é infinito, então não há nada de fora para se expandir; para onde se expande o todo infinito? Como é que algo que é infinito se pode expandir?
Realmente faz pouco sentido, e terá sido este tipo de perguntas que me levou a gostar de astronomia quando eu era miúdo.

Para responder, vou recorrer ao matemático alemão David Hilbert.
Hilbert, que, uma vez, disse: “O infinito! Nenhum outro conceito estimulou tão profundamente o espírito humano; nenhuma outra ideia estimulou o intelecto de modo tão frutífero, e no entanto nenhum outro conceito precisa ser mais esclarecido do que a ideia do infinito.”

Para explicar o conceito de infinito, Hilbert criou um exemplo conhecido como o Hotel de Hilbert.

Existe um Hotel que é infinito – com um infinito número de quartos.
O Hotel está cheio – todos os quartos ocupados.
Chega um novo hóspede. Será que ele tem lugar no hotel?

Se pensarmos de forma regular, então se o hotel está cheio, o novo hóspede não tem lugar.
No entanto, como o Hotel tem um número infinito de quartos, o gerente do hotel pede a todos os hóspedes para se mudarem para o quarto adjacente um número acima: o hóspede no quarto 1 muda-se para o 2, o que estava no 2 muda-se para o 3, e assim sucessivamente.
Assim, o novo hóspede cabe no quarto 1.
Todos os que estavam no Hotel continuam hospedados. E o novo hóspede também fica agora com um quarto.
Ou seja, apesar do Hotel estar cheio, ao mesmo tempo cabe sempre mais um.
Matematicamente, isto quer dizer que infinito mais um é igual a infinito!

Agora suponhamos que no dia seguinte chega um número infinito de hóspedes.
O gerente pede a todos os hóspedes que se mudem para o quarto que tenha o dobro do número do seu: o hóspede do quarto 1 muda-se para o quarto 2, o do quarto 2 muda-se para o 4, e assim sucessivamente.
Ou seja, passa a haver um número infinito de quartos (com números ímpares) vagos para os novos hóspedes.
Todos os que estavam no Hotel continuam hospedados. E os novos hóspedes também ficam agora com quartos.
Ou seja, apesar do Hotel estar cheio, ao mesmo tempo cabe sempre mais um número infinito.
Matematicamente, isto quer dizer que o dobro de infinito é igual a infinito!

Leiam mais sobre isto, em português, na wikipedia, e pelo professor Osley Leandro de Carvalho.

Ou como explica este site: “Infinity is not a number or a thing, but the idea behind many notions”

O Hotel “infinito” de Hilbert é excelentemente explicado também na ficção científica, como por exemplo no livro Transcendent – de Stephen Baxter -, ou na história Ripples in the Dirac Sea – de Geoffrey Landis.
Há um pequeno filme de Amanda Boyle, chamado Hotel Infinity, que também explica o mesmo, e que tem por slogan “We’re always full, but we always have room for you”.

Ou seja, é sempre possível que um Universo infinito se expanda – e continue a ser infinito.

O contrário, tal como explica este site, é que seria contraditório.
Como imaginar um Universo finito? Se o Universo é tudo, então como pode ter limites? Limites separam dois lados – o que pressupõe que do outro lado haveriam mais coisas. Mas não podem haver limites, porque o Universo é tudo.
A única resolução deste paradoxo é pensar no Universo como a Terra. Poderiamos andar sobre a sua superficie para sempre – infinitamente – que não encontraríamos limites. Mas a Terra é finita. Não encontravamos limites mas voltavamos ao ponto de partida.
O mesmo se poderia passar no Universo.

Mas todas as observações apontam para um Universo infinito.
E tal como no caso do Hotel, podemos andar pelo Universo inteiro, e multiplicar depois essa distância por 2, e assim sucessivamente, que continuariamos num universo infinito.
Da mesma forma que podemos multiplicar o tamanho do Universo por 2, que continuaremos num Universo infinito.

Ou seja, na prática, o ser infinito é só uma descrição simples do Universo, que diz que ele não tem limites, e que diz que mesmo que ele cresça, continuará a ser infinito – a descrição do seu tamanho não modifica (o mesmo aconteceu no caso do Hotel).
Mas o que funciona como descrição matemática, pode não ser mesmo a realidade – aquilo que podemos ver como uma experiência humana.

Por outro lado, a forma como vemos a expansão pode levar a más interpretações.
Como explica este site, o pensarmos que o Universo se expande não é uma boa imagem mental. O que se passa na realidade é que o espaço entre grupos de galáxias se expande, mas o Universo continua com o mesmo tamanho – infinito – por isso não precisa de se expandir para lado nenhum.

Para complicar a coisa, note-se que o que observamos é somente o Universo Observável (a nossa observação é finita) – tudo o resto são especulações a partir daquilo que observamos e conhecemos.
Daí que com novas observações, pode ser que as especulações se modifiquem…

Oiçam este excelente astronomy podcast sobre o assunto.

Sobre este tema, Alberto Fernando escreveu sobre Fernando Pessoa:
”
No dia 13 de Junho de 2008, completaram-se 120 anos do nascimento de Fernando Pessoa.
O jornal “PÚBLICO” dedicou-lhe duas páginas e distribuiu um facsimile de um poema inédito, atribuído ao heterónimo Alberto Caeiro.
Nunca tinha relacionado Pessoa com os temas do tempo ou do espaço.
Foi uma surpresa, sobretudo pela abordagem firme: “Não creio no infinito; o tempo tem um principio e terá um fim; antes e depois disso não havia tempo; falso é falar de infinitos”.
É minha opinião que os infinitos não são mais do que uma limitação da nossa linguagem. Acho que isso se aplica também aos infinitos matemáticos que mais não serão que uma deficiência da linguagem matemática, a qual, embora poderosa, está longe de ser suficiente e perfeita.
Fernando Pessoa ficou ainda mais o meu poeta.”

Este é o poema em causa:

“Gosto do céu porque não creio que ele seja infinito.
Que pode ter comigo o que não começa nem acaba?
Não creio no infinito, não creio na eternidade.

Creio que o espaço começa algures e algures acaba.
E que longe e atrás disso há absolutamente nada.

Creio que o tempo tem um principio e terá um fim.
E que antes e depois disso não havia tempo.

Porque há-de ser isto falso? Falso é falar de infinitos.
Como se soubessemos o que são de os podermos entender.
Não: tudo é uma quantidade de cousas.
Tudo é definido, tudo é limitado, tudo é cousas.”